数量化と主成分分析
カテゴリ変数の数量化を、それを用いて行う予定の他の分析法に依存せず、前処理として数量化を変数単位で行う数量化（岡本、2020）は、式の上では変数ごとに指標行列を構成して主成分分析を行うものと同じである。従って、カテゴリ変数のダミー変数より構成される指標行列を作成すれば、主成分分析の主成分という形で共通数量化の値を得ることができる。
まず、理論的基礎の簡単な説明を行い、続いて具体例を説明する。
共通数量化では、カテゴリ値を数値で置き換えるという処理を指標行列
と数量化の値
を重みとする変数
の分散の最大化を行う（Okamoto, 2015）。
このため、指標行列を中心化した行列
に対して
の固有分解によってを求める。すなわち、
の最大化を行うことによりの値を得る。
次に、指標行列の主成分分析を考える。主成分分析にはいろいろな考え方があるが（Okamoto, 2007）、Hotellingの考え方によれば、標準化した指標行列の各列の重み付き和を最大化すればよい。指標行列を標準化したデータは
と表せる。ここで、
は標準化のための行列、あるいはの各列の標準偏差の逆数を対角要素とする対角行列である。
式（２）を式（１）に合わせるために、非標準化主成分分析を行う。このとき、主成分分析の固有分解は式（１）となる。
すなわち、共通数量化の値は、指標行列の非標準化主成分分析によっても得ることができる。数量化の値は、
を標準化したものである。数量化の場合は、式（３）は各カテゴリ値を重みの値で置き換えたものから算出されるが（岡本、2020）、主成分分析の場合はカテゴリ値に対応するダミー変数に対する重みを付けた和であるという式（３）の意味付けが異なることに注意。数量化の場合も主成分分析の場合も式が同じ形になるので、数量化の値を主成分分析で求めることができるということである。また、このときの主成分分析はダミー変数の最適な加重和を求めているので回転は行えない。数量化を非標準主成分分析で行うときは、各カテゴリ変数ごとに行い、カテゴリ変数をまとめて行ってはならない。
なお、数量化のJupyter Notebook用のプログラムは、このウェブサイトに用意している。
次に、具体例を示す。
図１に示すデータの数量化を考える。
図１
変数CaseIDは各データを示すもの（名前）であり、変数CV-1がカテゴリ変数である。
まず、数量化のプログラムによる分析を行い、その後、主成分分析を行って、同じ結果を得ることを確認する。
数量化
図１のデータをこのウェブサイトのプログラムで処理するために、図２のように２行目に処理方法を指定する行を加え、カテゴリ値「dog」、「fish」、「cat」を整数値１，２，３に置き換える。２行目の整数値は、０であれば変数はそのままで、２以上の整数値であれば数量化を行うことを意味する。図２における３はカテゴリ変数のカテゴリ数が３であることを意味する。
図２
図２のデータに対してこのウェブサイトのプログラムで数量化を行うと、図３の結果を得る。
図３
非標準化主成分分析で共通数量化の値を求めるため、図１のデータをダミー変数を用いた図４のものに変更する。カテゴリ値「dog」、「fish」、「cat」がダミー変数CV-1-1、CV-1-2、CV-!-3で表されている。
図４
図４のデータに対して非標準化主成分分析を行うと以下の主成分を得る。
Principal components...
CaseID comp.1 comp.2
A 1.18322 -0.63246
A0 1.18322 -0.63246
A1 1.18322 -0.63246
A2 -1.18322 -0.63246
B 0.00000 1.58114
B1 0.00000 1.58114
B2 -1.18322 -0.63246
C 1.18322 -0.63246
C1 1.18322 -0.63246
C2 -1.18322 -0.63246
D 0.00000 1.58114
D0 -1.18322 -0.63246
D1 0.00000 1.58114
D2 -1.18322 -0.63246
図３の数量化の結果と上の主成分の値は四捨五入による違いを除いて一致していることが分かる。
なお、SPSSで非標準化主成分分析を行う方法についての説明も用意している。