Python特異値分解
行列Aの特異値分解を行ってみる（岡本安晴、2019、pp.61-72；岡本安晴、2009、pp.41-49）。正方対称行列であれば固有分解もできるので固有分解も行ってみる。
次の行列
の特異値分解を行うスクリプトをリスト１のように用意した。
リスト１
import numpy as np
a = np.array([[1, 0], [0, -2]])
print('a =\n', a)
U, S, Vh = np.linalg.svd(a)
print('U =\n', U)
print('S =\n', S)
print('Vh =\n', Vh)
ck_a = U @ np.diag(S) @ Vh
print('ck_a =\n', ck_a)
リスト１を実行すると、以下の出力を得る。
a =
[[ 1
0]
[ 0 -2]]
U =
[[0. 1.]
[1. 0.]]
S =
[2. 1.]
Vh =
[[-0. -1.]
[ 1.
0.]]
ck_a =
[[ 1. 0.]
[ 0. -2.]]
すなわち、
特異値
左特異ベクトル
左特異ベクトルは
に列単位でまとめられている。Pythonのprint文print('U =\n', U)では、Uは行単位でまとめられて出力されている。
右特異ベクトル
右特異ベクトルは
に行単位でまとめられている。Pythonのprint文print('Vh =\n', Vh)でも、は行単位でまとめられて出力されている。
参照
https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.svd.html
よって、特異値分解は次式
で与えられる。
上の行列Aは対称行列であるので、固有分解もできる。次に、固有分解を示す。
次の行列
の固有分解を行うスクリプトをリスト２のように用意した。
リスト２
import numpy as np
a = np.array([[1, 0], [0, -2]])
print('a =\n', a)
vals, vecs = np.linalg.eigh(a)
print('vals =\n', vals)
print('vecs =\n', vecs)
ck_a = vecs @ np.diag(vals) @ vecs.T
print('ck_a =\n', ck_a)
リスト２のスクリプトを実行すると、以下の出力を得る。
a =
[[ 1
0]
[ 0 -2]]
vals =
[-2.
1.]
vecs =
[[0. 1.]
[1. 0.]]
ck_a =
[[ 1. 0.]
[ 0. -2.]]
すなわち、固有分解は次式
で与えられる。