主成分分析と回転
主成分分析の古典的説明では、主成分は１つずつ構成され、それらの組み合わせに対する回転は不適切であるとされる。しかし、主成分分析を低次元空間への正射影として考える場合は、射影先の空間における座標系は数学的には任意である（岡本, 2006；岡本（2009）「統計学を学ぶための数学入門［下］」培風館、第5.7節「正射影の例」68−70；岡本（2014）「心理学データ分析と測定」勁草書房、第５章「情報の骨子を見る：主成分分析」67−77）。すなわち、実質的な解釈のための適切な座標系が求められ、回転はこの座標系の選択のための数学的方法である。主成分分析をデータ空間の低次元空間への正射影と考え、初期解としての主成分、および直交回転（バリマックス回転）と斜交回転（プロマックス回転）による単純パターンを求めるPythonプログラムを作成した。メインプログラムファイルMainPrg.pyとモジュールファイルinit_pca.py、PlotComp.py、rotate.py、ArrangePat.py、mymodule.py、およびサンプルデータファイルDataSubjects.txtとDataSubjects.csvを圧縮ファイルpcafiles.zipにまとめた。ファイル名pcafiles.zipをクリックしてダウンロードすれば展開・解凍して利用することができる。これらのファイルは、利用者の責任において、自由に利用されたい。
まず、主成分分析を正射影の観点（Okamoto, 2006）から説明し、その後、プログラムの使用法について説明する。なお、主成分分析は、
岡本安晴（著）「いまさら聞けないPythonでデータ分析―多変量解析，ベイズ統計分析（PyStan，PyMC）―」丸善出版
でも説明している。
正射影の観点から見た主成分分析
データは複数の変量の値として与えられる。例えば、身長、体重、血圧の５つの変量の場合は、各人のデータは３次元ベクトル
で表される。このデータを４０人から収集すると、４０人のデータは３次元空間において４０個の点として表される。変量の数が多い場合、データの各点は変量数の次元という高次元空間において表されるが、これを低次元の空間に写してデータの分布が表されるとデータの情報が読み取りやすくなる。例えば、２次元空間でデータの分布が表された場合は、平面上にデータの分布が散布図として表される。データの分布を低次元の空間で表す方法として主成分分析がある。
直感的に説明するために、図1のようにデータが２変量からなる場合を考える。詳しい説明は、Okamoto (2006)を参照されたい。
図１
このとき、データの各点は、平面上の分布として表される。図1では、５個のデータが表されている。これを１次元空間、すなわち直線上の分布として表すことを考える。図1では、直線Line-1と直線Line-2に点の射影をとる場合を表している。射影とは、点に光を当ててその影を求めることと説明される。図1の場合は、直線に対して垂直真上から光を当てて直線上に影を求めているので正射影（orthogonal projection）と呼ぶ。影を落とす直線に対して斜め上から光を当てる場合は、射影（projection）と呼ぶ。
射影は、一般的には、s次元空間からr次元空間への影を求めることと考えられるが、正射影の場合は、r次元空間に対して垂直な方向に光の方向が決まるので、影を投影する空間が決まれば、正射影も決まる。s次元空間の点を
と表したとき、r次元空間への正射影は
と行列
による積で表すことができる。主成分分析では、元のs次元でのデータの分布を最もよく反映するr次元への正射影を求める。元の分布を最もよく反映するということを、その分散が最大になることと考える。図1の例で言えば、直線Line-1への正射影が、２次元での分布をよく反映するものであると考える。直線Line-1に比べて直線Line-2への正射影は、正射影した点の散らばりが小さいという意味で２次元での分布の様子の反映が劣ると考える。
式（1）の形式のデータが
組与えられているとする。それを行列
で表す。主成分分析では変量間の関係を見るので、各変量を平均０、標準偏差１に揃えて原点と単位の影響を除いて分析することが考えられる。式（2）の変量の値を平均０、標準偏差１の標準得点に直したもの（3）について考える。
この
に対して、射影された
の分散が最大になる正射影Pを求める。r次元空間での分散を次式（4）で表す。
で表す。
式（4）を最大にする正射影Pは次式（5）で与えられる。
ここで、
は次式の特異値分解で与えられるものである。
、
、
、
、
このとき、
である。式（6）の値は、
のとき、
となる。
相関行列をRとおくと、
となり、相関行列の固有分解により
と
を得ることができる。
射影されたの空間において、座標軸をの座標値の分散が最大になるようにお互いに直交するものを選ぶと
になる。このときの座標値は主成分（principal components）と呼ばれている。主成分を
で表すと、次式で与えられる。
空間における基底を以外に取ったときは、の座標値は成分（components）と呼ばれる。成分との関係を表す行列はパターン行列（pattern matrix）と呼ぶ。
主成分のパターン行列
は次式で与えられる。
空間における基底を以外にとると、各座標軸の解釈が容易になる場合がある。いま、基底を
にとったとする。座標間の変換を表す行列を
とおく。すなわち、
である。このを、回転（rotation）と呼ぶ。正規直交基底間の回転のときは、直交回転（orthogonal
rotation）、それ以外のときは斜交回転（oblique rotation）と呼ぶ。
基底における成分
とパターン行列
は次式で与えられる。
２つのパターン行列とが与えられると、回転は次式
で与えられる。
したがって、パターン行列とが与えられたときの成分の変換式は
となる。
上の主成分分析を行うPythonスクリプトを用意した。スクリプトファイルとサンプルデータファイルは、圧縮ファイルpcafiles.zipにまとめた。ダウンロード・解凍して利用することができる。
スクリプトの使用法を、表１の仮想データを用いて説明する。
表１
|
通 番 （ID） |
国 語 （Jpn） |
英 語 （Eng） |
歴 史 （Hist） |
数 学 （Math） |
物 理 （Phys） |
化 学 （Chem） |
|
1 |
48 |
46 |
60 |
47 |
68 |
44 |
|
2 |
54 |
49 |
63 |
61 |
49 |
45 |
|
3 |
48 |
55 |
47 |
49 |
49 |
47 |
|
4 |
83 |
78 |
85 |
79 |
66 |
63 |
|
5 |
56 |
49 |
56 |
78 |
70 |
73 |
|
6 |
78 |
86 |
76 |
67 |
67 |
75 |
|
7 |
62 |
64 |
59 |
62 |
69 |
57 |
|
8 |
80 |
78 |
82 |
82 |
80 |
75 |
|
9 |
55 |
49 |
58 |
79 |
67 |
75 |
|
10 |
53 |
65 |
63 |
75 |
89 |
77 |
|
11 |
45 |
52 |
53 |
47 |
41 |
42 |
|
12 |
59 |
62 |
72 |
56 |
72 |
72 |
|
13 |
44 |
34 |
49 |
54 |
65 |
59 |
|
14 |
79 |
64 |
75 |
37 |
15 |
9 |
|
15 |
62 |
69 |
66 |
71 |
67 |
66 |
|
16 |
72 |
63 |
66 |
80 |
84 |
72 |
|
17 |
78 |
82 |
83 |
81 |
67 |
81 |
|
18 |
62 |
73 |
63 |
60 |
64 |
67 |
|
19 |
66 |
60 |
61 |
64 |
43 |
63 |
|
20 |
70 |
66 |
71 |
50 |
55 |
52 |
メインスクリプトMainPrg.pyを実行すると、入力データの種類が聞かれる（図２）。図２では、Text Fileの１が選択されている。続いて、入力データファイル名と出力データファイル名の設定が求められる。出力ファイル名は、テキストファイル名であれば任意である。
図２
テキストファイルとして用意するデータは、図３に示す形式で作成する。
図３
図３のデータファイルは、表1のデータに対するものである。データは、スラッシュ / で始まる行で挟まれている。スラッシュ / で始まる最初の行に続いて、変量の数が書かれ、次の行に変量のラベルが並べられている。変量の先頭は、各データの識別用文字列（図X.1の場合は、通し番号を表す数値文字列）の名前であり、その後、主成分分析の対象となる変量の名前が並べられている。変量の名前を並べた次の行から、１行に１ケースずつのデータを並べる。先頭は、ケースIDの文字列で、それに続いて各変量のデータを書き並べる。データの最後は、スラッシュ / で始まる行を置いて、データの終わりであることを示す。
データをCSVファイルとして用意する場合は、まず、図４のように準備する。
図４
図４は、表1のデータに対するものである。１行目のセルに変量名を入れ、２行目からデータを入れていく。データの設定が終われば、「名前を付けて保存」メニュで、「ファイルの種類」を「CSV（カンマ区切り）（*.csv）」を選んで保存する。この場合、Excelではいろいろなことが確認されるが、全てYesを選んで先に進めばよい。保存したファイルをテキストエディタで開くと、図５のように、セル内に設定した値がカンマで区切られて並んでいることがわかる。
図５
出力ファイル名を設定すると計算が始まる。まず、固有分解が行われて、固有値が計算され、累積２乗和などが表示される（図２、図６）。続いて、成分（components）数の設定が求められる。固有値が１以上の基準で図２あるいは図６では２を設定している。
図６
成分数を設定すると、パターン行列の描画表示における横軸と縦軸の成分の指定が求められる。図６では横軸が成分１、縦軸が成分２を指定している。縦軸の成分２を入力してEnterキーを押すと、パターン行列の指定した成分に対する値が散布図として表示される（図７）。
図７
フォームの右上のX印をクリックしてフォームを閉じると、次の表示成分の設定が求められる（図８）。
図８
成分として１より小さい値を設定すると（図８では０）、初期値である主成分のパターン行列の表示は終了して、Varimax回転が行われ、Varimax回転後のパータン行列の表示における成分の指定が求められる（図８）。横軸と縦軸の成分を指定すると、指定された成分のパターン行列の値が散布図として表示される（図９）。
図９
フォーム右上のX印をクリックして閉じると、次の成分の指定が求められる。０以下の値を設定すると、Varimax回転後のパターン行列の表示は終了して、斜交回転が始まる（図１０）。
図１０
斜交回転はpromax回転である。斜交回転後は、成分が直交していないので、直交座標による表示はない、スクリプトの実行終了後、出力ファイルを開くと以下のようになっている。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
Input data file =
DataSubjects.txt
n_vars = 6
Var_names...
ID
Jpn
Eng
Hist
Math
Phys
Chem
1 48.000 46.000 60.000 47.000 68.000 44.000
2 54.000 49.000 63.000 61.000 49.000 45.000
3 48.000 55.000 47.000 49.000 49.000 47.000
4 83.000 78.000 85.000 79.000 66.000 63.000
5 56.000 49.000 56.000 78.000 70.000 73.000
6 78.000 86.000 76.000 67.000 67.000 75.000
7 62.000 64.000 59.000 62.000 69.000 57.000
8 80.000 78.000 82.000 82.000 80.000 75.000
9 55.000 49.000 58.000 79.000 67.000 75.000
10 53.000 65.000 63.000 75.000 89.000 77.000
11 45.000 52.000 53.000 47.000 41.000 42.000
12 59.000 62.000 72.000 56.000 72.000 72.000
13 44.000 34.000 49.000 54.000 65.000 59.000
14 79.000 64.000 75.000 37.000 15.000 9.000
15 62.000 69.000 66.000 71.000 67.000 66.000
16 72.000 63.000 66.000 80.000 84.000 72.000
17 78.000 82.000 83.000 81.000 67.000 81.000
18 62.000 73.000 63.000 60.000 64.000 67.000
19 66.000 60.000 61.000 64.000 43.000 63.000
20 70.000 66.000 71.000 50.000 55.000 52.000
Standardized data...
ID Jpn Eng Hist Math Phys Chem
1 -1.20423 -1.24409 -0.50790 -1.26076 0.34673 -0.99764
2 -0.71271 -1.01371 -0.22573 -0.21942 -0.81927 -0.93790
3 -1.20423 -0.55293 -1.73062 -1.11200 -0.81927 -0.81842
4 1.66298 1.21338 1.84349 1.11944 0.22399 0.13740
5 -0.54887 -1.01371 -0.88412 1.04506 0.46947 0.73479
6 1.25338 1.82774 0.99699 0.22686 0.28536 0.85427
7 -0.05734 0.13823 -0.60195 -0.14504 0.40810 -0.22103
8 1.41722 1.21338 1.56132 1.34258 1.08315 0.85427
9 -0.63079 -1.01371 -0.69601 1.11944 0.28536 0.85427
10 -0.79463 0.21503 -0.22573 0.82191 1.63547 0.97375
11 -1.44999 -0.78332 -1.16629 -1.26076 -1.31022 -1.11712
12 -0.30311 -0.01536 0.62077 -0.59133 0.59221 0.67505
13 -1.53191 -2.16565 -1.54251 -0.74009 0.16263 -0.10156
14 1.33530 0.13823 0.90293 -2.00458 -2.90580 -3.08851
15 -0.05734 0.52221 0.05643 0.52439 0.28536 0.31662
16 0.76186 0.06144 0.05643 1.19382 1.32863 0.67505
17 1.25338 1.52056 1.65538 1.26820 0.28536 1.21270
18
-0.05734 0.82940 -0.22573 -0.29381 0.10126 0.37636
19 0.27034 -0.16895 -0.41384 0.00372 -1.18748 0.13740
20 0.59802 0.29182 0.52671 -1.03762 -0.45106 -0.51973
Lambda...
Lambd cum.sqr
%
Lambda-1 1.83432 3.36473 56.08
Lambda-2 1.40444 5.33718 88.95
Lambda-3 0.53507 5.62349 93.72
Lambda-4 0.46458 5.83932 97.32
Lambda-5 0.31091 5.93599 98.93
Lambda-6 0.25301 6.00000 100.00
Pattern matrix for the
principal components =
comp.1 comp.2
Jpn -0.75184 0.61221
Eng -0.81468 0.43846
Hist -0.78026 0.54381
Math -0.80603 -0.44283
Phys -0.59683 -0.71379
Chem -0.72185 -0.63568
Principal
components...
ID comp.1 comp.2
1 1.14263 -0.31126
2 0.85614 0.13922
3 1.39156 -0.16393
4 -1.43025 0.91747
5 0.08185 -1.28077
6 -1.24203 0.64068
7 0.12871 -0.19691
8 -1.66954 0.17136
9 0.04574 -1.24292
10 -0.51805 -1.35126
11 1.55819 0.17149
12 -0.18071 -0.22545
13 1.39459 -1.24212
14 1.11698 3.19106
15 -0.37087 -0.20919
16 -0.86467 -0.70070
17 -1.64668 0.40461
18 -0.16398 0.01236
19 0.25673 0.31686
20 0.11365 0.95938
Varimax rotation was
applied...
Pattern for the
Varimax rotated components =
comp.1 comp.2
Jpn -0.04003 0.96874
Eng -0.21177 0.90061
Hist -0.11008 0.94468
Math -0.86587 0.30993
Phys -0.93005 -0.02632
Chem -0.95445 0.11907
Sorted Pattern for
Varimax rotation =
comp.1 comp.2
Chem -0.95445 0.11907
Phys -0.93005 -0.02632
Math -0.86587 0.30993
Jpn -0.04003 0.96874
Hist -0.11008 0.94468
Eng -0.21177 0.90061
Components for
Varimax...
ID comp.1 comp.2
1 0.52441 -1.06183
2 0.67176 -0.54871
3 0.79973 -1.15054
4 -0.26119 1.67903
5 -0.90467 -0.91030
6 -0.34366 1.35463
7 -0.06211 -0.22690
8 -0.97843 1.36359
9 -0.90026 -0.85817
10 -1.35511 -0.50788
11 1.16132 -1.05295
12 -0.28859 -0.01415
13 -0.00552 -1.86754
14 3.12963 1.27905
15 -0.40247 0.13901
16 -1.09781 0.18290
17 -0.78865 1.50110
18 -0.09944 0.13097
19 0.40742 0.01783
20 0.79363 0.55088
Promax rotation was
applied...
Pattern for the Promax
rotated components =
comp.1 comp.2
Jpn 0.08941 0.98905
Eng -0.09616 0.89541
Hist 0.01422 0.95468
Math -0.84757 0.19873
Phys -0.95880 -0.15534
Chem -0.96427 -0.00944
Correlation matrix of
the components...
comp.1 comp.2
comp.1 1.00000 -0.26097
comp.2 -0.26097 1.00000
Sorted Pattern for
Promax rotation =
Chem -0.96427 -0.00944
Phys -0.95880 -0.15534
Math -0.84757 0.19873
Jpn 0.08941 0.98905
Hist 0.01422 0.95468
Eng -0.09616 0.89541
Components for
Promax...
ID comp.1 comp.2
1 0.66116 -1.12102
2 0.73886 -0.63142
3 0.94585 -1.24479
4 -0.48249 1.69874
5 -0.77537 -0.78490
6 -0.52102 1.38782
7 -0.03134 -0.21690
8 -1.15133 1.47927
9 -0.77794 -0.73378
10 -1.27539 -0.32730
11 1.29122 -1.19506
12 -0.28413 0.02351
13 0.24327 -1.85096
14 2.93139 0.86111
15 -0.41740 0.19017
16 -1.11239 0.32413
17 -0.98155 1.59093
18 -0.11600 0.14279
19 0.40142 -0.03532
20 0.71319 0.44297
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
参考文献
岡本安晴（2009）「統計学を学ぶための数学入門［下］」培風館