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主成分分析と回転

 

主成分分析の古典的説明では、主成分は1つずつ構成され、それらの組み合わせに対する回転は不適切であるとされる。しかし、主成分分析を低次元空間への正射影として考える場合は、射影先の空間における座標系は数学的には任意である(岡本, 2006岡本(2009)「統計学を学ぶための数学入門[下]」培風館、第5.7節「正射影の例」6870岡本(2014)「心理学データ分析と測定」勁草書房、第5章「情報の骨子を見る:主成分分析」6777)。すなわち、実質的な解釈のための適切な座標系が求められ、回転はこの座標系の選択のための数学的方法である。主成分分析をデータ空間の低次元空間への正射影と考え、初期解としての主成分、および直交回転(バリマックス回転)と斜交回転(プロマックス回転)による単純パターンを求めるPythonプログラムを作成した。メインプログラムファイルMainPrg.pyとモジュールファイルinit_pca.pyPlotComp.pyrotate.pyArrangePat.pymymodule.py、およびサンプルデータファイルDataSubjects.txtDataSubjects.csvを圧縮ファイルpcafiles.zipにまとめた。ファイル名pcafiles.zipをクリックしてダウンロードすれば展開・解凍して利用することができる。これらのファイルは、利用者の責任において、自由に利用されたい。

まず、主成分分析を正射影の観点(Okamoto, 2006)から説明し、その後、プログラムの使用法について説明する。なお、主成分分析は、

岡本安晴(著)「いまさら聞けないPythonでデータ分析―多変量解析,ベイズ統計分析(PyStan,PyMC)―」丸善出版

でも説明している。

 

正射影の観点から見た主成分分析

 データは複数の変量の値として与えられる。例えば、身長、体重、血圧の5つの変量の場合は、各人のデータは3次元ベクトル

で表される。このデータを40人から収集すると、40人のデータは3次元空間において40個の点として表される。変量の数が多い場合、データの各点は変量数の次元という高次元空間において表されるが、これを低次元の空間に写してデータの分布が表されるとデータの情報が読み取りやすくなる。例えば、2次元空間でデータの分布が表された場合は、平面上にデータの分布が散布図として表される。データの分布を低次元の空間で表す方法として主成分分析がある。

直感的に説明するために、図1のようにデータが2変量からなる場合を考える。詳しい説明は、Okamoto (2006)を参照されたい。

図1

 

このとき、データの各点は、平面上の分布として表される。図1では、5個のデータが表されている。これを1次元空間、すなわち直線上の分布として表すことを考える。図1では、直線Line-1と直線Line-2に点の射影をとる場合を表している。射影とは、点に光を当ててその影を求めることと説明される。図1の場合は、直線に対して垂直真上から光を当てて直線上に影を求めているので正射影(orthogonal projection)と呼ぶ。影を落とす直線に対して斜め上から光を当てる場合は、射影(projection)と呼ぶ。

射影は、一般的には、s次元空間からr次元空間への影を求めることと考えられるが、正射影の場合は、r次元空間に対して垂直な方向に光の方向が決まるので、影を投影する空間が決まれば、正射影も決まる。s次元空間の点を

と表したとき、r次元空間への正射影は

と行列による積で表すことができる。主成分分析では、元のs次元でのデータの分布を最もよく反映するr次元への正射影を求める。元の分布を最もよく反映するということを、その分散が最大になることと考える。図1の例で言えば、直線Line-1への正射影が、2次元での分布をよく反映するものであると考える。直線Line-1に比べて直線Line-2への正射影は、正射影した点の散らばりが小さいという意味で2次元での分布の様子の反映が劣ると考える。

 式(1)の形式のデータが組与えられているとする。それを行列

で表す。主成分分析では変量間の関係を見るので、各変量を平均0、標準偏差1に揃えて原点と単位の影響を除いて分析することが考えられる。式(2)の変量の値を平均0、標準偏差1の標準得点に直したもの(3)について考える。

このに対して、射影されたの分散が最大になる正射影Pを求める。r次元空間での分散を次式(4)で表す。

で表す。

 式(4)を最大にする正射影Pは次式(5)で与えられる。

ここで、は次式の特異値分解で与えられるものである。

 このとき、

である。式(6)の値は、のとき、

となる。

 相関行列をRとおくと、

となり、相関行列の固有分解によりを得ることができる。

 射影されたの空間において、座標軸をの座標値の分散が最大になるようにお互いに直交するものを選ぶとになる。このときの座標値は主成分(principal components)と呼ばれている。主成分をで表すと、次式で与えられる。

 空間における基底を以外に取ったときは、の座標値は成分(components)と呼ばれる。成分との関係を表す行列はパターン行列(pattern matrix)と呼ぶ。

 主成分のパターン行列は次式で与えられる。

 空間における基底を以外にとると、各座標軸の解釈が容易になる場合がある。いま、基底をにとったとする。座標間の変換を表す行列をとおく。すなわち、

である。このを、回転(rotation)と呼ぶ。正規直交基底間の回転のときは、直交回転(orthogonal rotation)、それ以外のときは斜交回転(oblique rotation)と呼ぶ。

基底における成分とパターン行列は次式で与えられる。

 2つのパターン行列が与えられると、回転は次式

で与えられる。

 したがって、パターン行列が与えられたときの成分の変換式は

となる。

 

 

Pythonスクリプトの実行

上の主成分分析を行うPythonスクリプトを用意した。スクリプトファイルとサンプルデータファイルは、圧縮ファイルpcafiles.zipにまとめた。ダウンロード・解凍して利用することができる。

スクリプトの使用法を、表1の仮想データを用いて説明する。

表1

通 番

ID

国 語

Jpn

英 語

Eng

歴 史

Hist

数 学

Math

物 理

Phys

化 学

Chem

1

48

46

60

47

68

44

2

54

49

63

61

49

45

3

48

55

47

49

49

47

4

83

78

85

79

66

63

5

56

49

56

78

70

73

6

78

86

76

67

67

75

7

62

64

59

62

69

57

8

80

78

82

82

80

75

9

55

49

58

79

67

75

10

53

65

63

75

89

77

11

45

52

53

47

41

42

12

59

62

72

56

72

72

13

44

34

49

54

65

59

14

79

64

75

37

15

9

15

62

69

66

71

67

66

16

72

63

66

80

84

72

17

78

82

83

81

67

81

18

62

73

63

60

64

67

19

66

60

61

64

43

63

20

70

66

71

50

55

52

 

メインスクリプトMainPrg.pyを実行すると、入力データの種類が聞かれる(図2)。図2では、Text Fileの1が選択されている。続いて、入力データファイル名と出力データファイル名の設定が求められる。出力ファイル名は、テキストファイル名であれば任意である。

図2

 

 テキストファイルとして用意するデータは、図3に示す形式で作成する。

図3

 

図3のデータファイルは、表1のデータに対するものである。データは、スラッシュ / で始まる行で挟まれている。スラッシュ / で始まる最初の行に続いて、変量の数が書かれ、次の行に変量のラベルが並べられている。変量の先頭は、各データの識別用文字列(図X.1の場合は、通し番号を表す数値文字列)の名前であり、その後、主成分分析の対象となる変量の名前が並べられている。変量の名前を並べた次の行から、1行に1ケースずつのデータを並べる。先頭は、ケースIDの文字列で、それに続いて各変量のデータを書き並べる。データの最後は、スラッシュ / で始まる行を置いて、データの終わりであることを示す。

 データをCSVファイルとして用意する場合は、まず、図4のように準備する。

図4

 

図4は、表1のデータに対するものである。1行目のセルに変量名を入れ、2行目からデータを入れていく。データの設定が終われば、「名前を付けて保存」メニュで、「ファイルの種類」を「CSV(カンマ区切り)(*.csv)」を選んで保存する。この場合、Excelではいろいろなことが確認されるが、全てYesを選んで先に進めばよい。保存したファイルをテキストエディタで開くと、図5のように、セル内に設定した値がカンマで区切られて並んでいることがわかる。

図5

 

出力ファイル名を設定すると計算が始まる。まず、固有分解が行われて、固有値が計算され、累積2乗和などが表示される(図2、図6)。続いて、成分(components)数の設定が求められる。固有値が1以上の基準で図2あるいは図6では2を設定している。

図6

 

成分数を設定すると、パターン行列の描画表示における横軸と縦軸の成分の指定が求められる。図6では横軸が成分1、縦軸が成分2を指定している。縦軸の成分2を入力してEnterキーを押すと、パターン行列の指定した成分に対する値が散布図として表示される(図7)。

図7

 

フォームの右上のX印をクリックしてフォームを閉じると、次の表示成分の設定が求められる(図8)。

図8

 

成分として1より小さい値を設定すると(図8では0)、初期値である主成分のパターン行列の表示は終了して、Varimax回転が行われ、Varimax回転後のパータン行列の表示における成分の指定が求められる(図8)。横軸と縦軸の成分を指定すると、指定された成分のパターン行列の値が散布図として表示される(図9)。

図9

 

フォーム右上のX印をクリックして閉じると、次の成分の指定が求められる。0以下の値を設定すると、Varimax回転後のパターン行列の表示は終了して、斜交回転が始まる(図10)。

図10

 

斜交回転はpromax回転である。斜交回転後は、成分が直交していないので、直交座標による表示はない、スクリプトの実行終了後、出力ファイルを開くと以下のようになっている。

=============================================

Input data file = DataSubjects.txt

 

 

n_vars = 6

Var_names...

        ID       Jpn       Eng      Hist      Math      Phys      Chem

 

         1    48.000    46.000    60.000    47.000    68.000    44.000

         2    54.000    49.000    63.000    61.000    49.000    45.000

         3    48.000    55.000    47.000    49.000    49.000    47.000

         4    83.000    78.000    85.000    79.000    66.000    63.000

         5    56.000    49.000    56.000    78.000    70.000    73.000

         6    78.000    86.000    76.000    67.000    67.000    75.000

         7    62.000    64.000    59.000    62.000    69.000    57.000

         8    80.000    78.000    82.000    82.000    80.000    75.000

         9    55.000    49.000    58.000    79.000    67.000    75.000

        10    53.000    65.000    63.000    75.000    89.000    77.000

        11    45.000    52.000    53.000    47.000    41.000    42.000

        12    59.000    62.000    72.000    56.000    72.000    72.000

        13    44.000    34.000    49.000    54.000    65.000    59.000

        14    79.000    64.000    75.000    37.000    15.000     9.000

        15    62.000    69.000    66.000    71.000    67.000    66.000

        16    72.000    63.000    66.000    80.000    84.000    72.000

        17    78.000    82.000    83.000    81.000    67.000    81.000

        18    62.000    73.000    63.000    60.000    64.000    67.000

        19    66.000    60.000    61.000    64.000    43.000    63.000

        20    70.000    66.000    71.000    50.000    55.000    52.000

 

 

Standardized data...

 

        ID       Jpn       Eng      Hist      Math      Phys      Chem

         1  -1.20423  -1.24409  -0.50790  -1.26076   0.34673  -0.99764

         2  -0.71271  -1.01371  -0.22573  -0.21942  -0.81927  -0.93790

         3  -1.20423  -0.55293  -1.73062  -1.11200  -0.81927  -0.81842

         4   1.66298   1.21338   1.84349   1.11944   0.22399   0.13740

         5  -0.54887  -1.01371  -0.88412   1.04506   0.46947   0.73479

         6   1.25338   1.82774   0.99699   0.22686   0.28536   0.85427

         7  -0.05734   0.13823  -0.60195  -0.14504   0.40810  -0.22103

         8   1.41722   1.21338   1.56132   1.34258   1.08315   0.85427

         9  -0.63079  -1.01371  -0.69601   1.11944   0.28536   0.85427

        10  -0.79463   0.21503  -0.22573   0.82191   1.63547   0.97375

        11  -1.44999  -0.78332  -1.16629  -1.26076  -1.31022  -1.11712

        12  -0.30311  -0.01536   0.62077  -0.59133   0.59221   0.67505

        13  -1.53191  -2.16565  -1.54251  -0.74009   0.16263  -0.10156

        14   1.33530   0.13823   0.90293  -2.00458  -2.90580  -3.08851

        15  -0.05734   0.52221   0.05643   0.52439   0.28536   0.31662

        16   0.76186   0.06144   0.05643   1.19382   1.32863   0.67505

        17   1.25338   1.52056   1.65538   1.26820   0.28536   1.21270

        18  -0.05734   0.82940  -0.22573  -0.29381   0.10126   0.37636

        19   0.27034  -0.16895  -0.41384   0.00372  -1.18748   0.13740

        20   0.59802   0.29182   0.52671  -1.03762  -0.45106  -0.51973

 

Lambda...

                        Lambd    cum.sqr         %

            Lambda-1   1.83432   3.36473     56.08

            Lambda-2   1.40444   5.33718     88.95

            Lambda-3   0.53507   5.62349     93.72

            Lambda-4   0.46458   5.83932     97.32

            Lambda-5   0.31091   5.93599     98.93

            Lambda-6   0.25301   6.00000    100.00

 

 

Pattern matrix for the principal components =

              comp.1    comp.2

       Jpn  -0.75184   0.61221

       Eng  -0.81468   0.43846

      Hist  -0.78026   0.54381

      Math  -0.80603  -0.44283

      Phys  -0.59683  -0.71379

      Chem  -0.72185  -0.63568

 

 

Principal components...

        ID    comp.1    comp.2

         1   1.14263  -0.31126

         2   0.85614   0.13922

         3   1.39156  -0.16393

         4  -1.43025   0.91747

         5   0.08185  -1.28077

         6  -1.24203   0.64068

         7   0.12871  -0.19691

         8  -1.66954   0.17136

         9   0.04574  -1.24292

        10  -0.51805  -1.35126

        11   1.55819   0.17149

        12  -0.18071  -0.22545

        13   1.39459  -1.24212

        14   1.11698   3.19106

        15  -0.37087  -0.20919

        16  -0.86467  -0.70070

        17  -1.64668   0.40461

        18  -0.16398   0.01236

        19   0.25673   0.31686

        20   0.11365   0.95938

 

 

Varimax rotation was applied...

 

 

Pattern for the Varimax rotated components =

              comp.1    comp.2

       Jpn  -0.04003   0.96874

       Eng  -0.21177   0.90061

      Hist  -0.11008   0.94468

      Math  -0.86587   0.30993

      Phys  -0.93005  -0.02632

      Chem  -0.95445   0.11907

 

 

Sorted Pattern for Varimax rotation =

              comp.1    comp.2

      Chem  -0.95445   0.11907

      Phys  -0.93005  -0.02632

      Math  -0.86587   0.30993

       Jpn  -0.04003   0.96874

      Hist  -0.11008   0.94468

       Eng  -0.21177   0.90061

 

 

Components for Varimax...

        ID    comp.1    comp.2

         1   0.52441  -1.06183

         2   0.67176  -0.54871

         3   0.79973  -1.15054

         4  -0.26119   1.67903

         5  -0.90467  -0.91030

         6  -0.34366   1.35463

         7  -0.06211  -0.22690

         8  -0.97843   1.36359

         9  -0.90026  -0.85817

        10  -1.35511  -0.50788

        11   1.16132  -1.05295

        12  -0.28859  -0.01415

        13  -0.00552  -1.86754

        14   3.12963   1.27905

        15  -0.40247   0.13901

        16  -1.09781   0.18290

        17  -0.78865   1.50110

        18  -0.09944   0.13097

        19   0.40742   0.01783

        20   0.79363   0.55088

 

 

Promax rotation was applied...

 

 

Pattern for the Promax rotated components =

              comp.1    comp.2

       Jpn   0.08941   0.98905

       Eng  -0.09616   0.89541

      Hist   0.01422   0.95468

      Math  -0.84757   0.19873

      Phys  -0.95880  -0.15534

      Chem  -0.96427  -0.00944

 

 

Correlation matrix of the components...

              comp.1    comp.2

    comp.1   1.00000  -0.26097

    comp.2  -0.26097   1.00000

 

 

Sorted Pattern for Promax rotation =

      Chem  -0.96427  -0.00944

      Phys  -0.95880  -0.15534

      Math  -0.84757   0.19873

       Jpn   0.08941   0.98905

      Hist   0.01422   0.95468

       Eng  -0.09616   0.89541

 

 

Components for Promax...

        ID    comp.1    comp.2

         1   0.66116  -1.12102

         2   0.73886  -0.63142

         3   0.94585  -1.24479

         4  -0.48249   1.69874

         5  -0.77537  -0.78490

         6  -0.52102   1.38782

         7  -0.03134  -0.21690

         8  -1.15133   1.47927

         9  -0.77794  -0.73378

        10  -1.27539  -0.32730

        11   1.29122  -1.19506

        12  -0.28413   0.02351

        13   0.24327  -1.85096

        14   2.93139   0.86111

        15  -0.41740   0.19017

        16  -1.11239   0.32413

        17  -0.98155   1.59093

        18  -0.11600   0.14279

        19   0.40142  -0.03532

        20   0.71319   0.44297

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参考文献

Y. Okamoto (2006) “A Justification of Rotation in Principal Component Analysis: Projective viewpoint of PCA.” Japan Women’s University Journal (Faculty of Integrated Arts and Social Sciences), 17, 59-71.

岡本安晴(2009)「統計学を学ぶための数学入門[下]」培風館

岡本安晴(2014)「心理学データ分析と測定」勁草書房

 

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