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クロス表・2次元配列データの視覚化

特異値分解（SVD）と内積による表現

クロス表（対応表）・2次元配列データは、内積で表すことができる。

内積で表すことにより、データの関係が視覚的に分かり易く表される。象徴語と色の適合関係のデータ、SD法（セマンティックディファレンシャル法）のデータの分析例を考え方の説明の後で扱う。

なお、これらの分析例では配列データをそのまま直接分析しているが、データの関係が内積で表現するのに適した値に変換（前処理）した上で分析することも考えられる。

ここで、２つのベクトルとの内積は、それぞれのベクトルの対応する成分の積の和で表されるが、ベクトルの長さとベクトルのなす角の余弦との積でも表される。

内積は、ベクトルの長さが長いほど大きい値となる。2つのベクトルが同じ方向（）に向いていると正の値となり、反対方向に向いているときは負の値となる。ベクトルのなす角が（直交する）であれば内積は０である。

内積による表現は、特異値分解により簡単に得ることができる。なお、特異値分解から内積モデルへの展開は、岡本安晴（2022）で例を示した特異値分解について頂いたコメント（岡太彬訓、2022）に触発されたものである。

行列Xの特異値分解は、次式で与えられる。

ここで、

, ,

である。、・・・、は互いに直交する長さ１のベクトルであり、、・・・、は互いに直交する長さ１のベクトルであり、は行列の階数（rank）である。は左特異ベクトル（left singular vector）、は右特異ベクトル（right singular vector）、は特異値（singular value）と呼ばれている。行列に対してこれらを求める関数がライブラリ（Numpy、Scipyなど）に用意されており、プログラムで求めるのは簡単である。

式（1）の特異値分解の式を、式（3）のように書き変える。

いま、

,

と置くと、

である。すなわち、

を得る。特異値の分解は、

も考えられるが、この方法は匿名の方から問題点が指摘された。

クロス表の分析法に対応分析などがあるが、これらの分析法ではデータに含まれる情報を低次元の空間に表現することが目指され、その解が2次元空間に図示される。これに対して式（3）では特異値分解によりｒ次元空間における内積によるデータの表現が行われている。次元数ｒは配列データ行列の階数であり、階数が高いときは高次元空間での表現になる。データ分析において高次元空間に埋め込むことは、機械学習のサポートデータマシンで行われているが、高次元空間に埋め込むことにより、線形式による分離が可能になる例が示されている（Brunton & Kutz, 2019, Figure 5.23）。対応表や２次元配列データも、データ行列の階数ｒに対してｒ次元空間を用いるとデータの内積による表現が可能になる。得られた内積による表現を視覚化するときは２次元空間を選べばよい。次元の選択においては、特異値が参考になる。特異値は、データの説明量を表していると解釈できる（エッカート・ヤングの定理と呼ばれることがある；Brunton & Kutz, 2019, pp. 7-8）。

行項目と列項目の分布を描いたとき、２つの分布の広がりが同じようになると関係が見やすい。特異ベクトルは、長さが１という制約があるので、項目の数が多くなると特異ベクトルの成分の絶対値が小さくなる傾向がる。

いま、それぞれの分布の座標値の２乗の平均が等しいという条件を置く。

これと式（2）より、

を得る。

行項目の布置と行項目の布置の距離とデータとの関係は以下のようになる。

データの行目のベクトルをと置けば

と表され，

と書ける。同様に第行のベクトルは

で与えられる。したがって，次式が成り立つ。

ここで、

=

である。すなわち，データの第行の値のベクトルと第行の値のベクトルの距離の２乗は，行項目の布置と行項目の布置の重み付き距離の２乗に等しい。

同様に、列項目の布置と列項目の布置の距離とデータとの関係は以下のようになる。

データの第列の値のベクトルは

と表され，

と書くことができる。第列のベクトルも同様に

と表せる。したがって，次式が成り立つ。

ここで、

=

である。すなわち，データの第列のベクトルと第列のベクトルの距離の２乗は，列項目の布置と列項目の布置の重み付き距離の２乗に等しい。

いま、直交回転を考える。

より

が成り立ち、内積は直交回転に対して不変であり、直交回転可能である。

例えば、下図のデータを分析してみる。

図１

図２に示す結果を得る。

図２

第１次元の値が同じで変数の違い／関係を表す情報が含まれていない。

図２の布置を図３のように回転する。この回転は３Dグラフィックにおいてマウスによるドラッグで回転している。

第

図３

行項目と列項目の親近関係と行項目間および列項目間の関係が、円環状の繋がりにおいてよく表されている。

回転を以下のように考える。

行項目のベクトルの座標行列と列項目のベクトルの座標行列をまとめてとおく。

である。

の行ベクトルで表される点の，の分布の中心（平均）からの変動を最大（極大）にする方向を求めるために，からの平均を引いたものを求めと置く。すなわち

である。このの分布における変動の最大（極大）方向を与えるベクトル，・・・，を主成分分析の考え方（Timm, 1975）により求める。

これらのは，の固有ベクトル（eigen vector）として与えられる（Timm, 1975）。

これより，直交回転変換行列を

とおく。このとき

である。

クラスター分析

内積を与えるベクトルの座標値を用いて、クラスター分析ができる。ベクトルのなす角を用いたクラスタ分析も可能である。クラスタ分析は、次元による制約を受けない。

特異値分解は、適用できる2次元配列に制約はない。そこから内積表現が導かれるが、これは数学的に表現されるということであり、心理学的に自然な解釈ができることとは別である。例えば、色と象徴語の適合度のデータにおいて、不適合である方に注目して不適合であれば１とコーディングした場合、不適合であればベクトルの内積は大きくなりベクトルは近付くという表現が予想されるが、これは不自然であろう。また、セマンティックディファレンシャル法では双極性の尺度を用いることが標準であるが、尺度値をー３から３までの数値で表すとき、合う関係は内積が正になりベクトルは近付き、合わないときは内積は負になりベクトルは反対方向に向くので、自然な解釈になる。しかし、これを尺度値として１から７までの数値を用いると、反対方向の関係が内積が０に近い値で表されるので不都合と考えられる。特異値分解とそこから導かれる内積表現はデータを選ばないが、得られた解の解釈はデータに依存している。

色と象徴語の関係

図C1に示すデータは、大山（1994）に説明されている色と象徴語の関係を、適合するものを１で、そうでないものを０で表した岡本（2014）の表14.1.1をExcelファイルとしたものである。

図C１　

図C1では、適合するかどうかが１と０で表されているが、データが適合すると答えた人の人数、あるいは適合度を100点満点で評価したときの平均値であれば、図C1の数値は０以上の実数となる。また、適合しないを負の数で表すデータも考えられる。いずれにせよ、１と０で適合するかしないかを表すという大まかなデータでどのような分析結果となるかは興味深いと思われる。

図C1のデータをリスト１のプログラムで分析する。スクリプトファイルなどは圧縮ファイルsamplefiles.zipにまとめている。Jupyter Notebook用のファイルもsamplefiles_jn.zipにまとめている。

リスト１のプログラムを実行すると、入力ファイル名を聞いてくるので、入力データファイル名を入力する。入力データファイルは、図C!に示す形式のExcelファイルである。

入力データファイル名が設定されると、ファイルが読み込まれて計算が始まる。

先ず、特異値のグラフ（スクリープロット）が表示される（図C2）。

図C2

３つ目までの特異値が大きいが、１番目の特異値はデータの全体的な様子を表すので、２番目と３番目の特異値が個々の変数の関係を表していると予想できる。

図C2のグラフを閉じると、図C3のグラフが表示される。

図C3

布置の回転を行うときの主成分分析の固有値のグラフである。１番目と２番目の固有値が大きいので、布置はほぼ２次元空間に配置されていると考えられる。

図C3のグラフを閉じると、回転後の布置が表示される（図C4）。

図C4

色が色相環に沿う形で配置され、それぞれの色に適合する象徴語が色に沿う形で配置されている。原点（星印）から色（列項目：下向き3角形）あるいは象徴語（行項目：上向き3角形）の位置までがベクトルを表す。

図C5のフォームを閉じると、次の描画における次元の設定が求められるので、次元の他の組み合わせにおける布置が得られる。次元として０以下の値を設定すると、プログラムは終了する。

セマンティックディファレンシャル法

図S1は、大山ら（2005）の図4-4に示されているセマンティック・ディファレンシャル法のデータ（「幸福」のイメージに対する評定形容詞対の平均値）を読んで、Excelファイルとしたものである。形容詞対は、対の一方のみを示している。

図S1　「幸福」のイメージに対する平均値

図S1のデータをリスト１のプログラムで分析する。プログラムなどは圧縮ファイルsamplefiles.zipにまとめている。Jupyter Notebook用のプログラムファイルなどは圧縮ファイルsamplefiles_jn.zipにまとめた。

プログラムを実行すると、入力データファイル名の設定が求められる。入力データファイルは、図S1の形式で、Excelファイルとして用意する。

入力データファイル名を設定すると、データは読み込まれて計算が始まる。

まず、特異値のグラフ（スクリープロット）が表示される（図S2）。

図S2

１番目と２番目の特異値が大きいので、データ配列はほぼ２次元の布置で表されると考えられる。

図S2のグラフを閉じると、固有値のスクリープロットが表示される（図S3）。

図S3

固有値のスクリープロットから、第１固有値と第２固有値が大きく、布置はほぼ２次元空間に配置されていると考えられる。

図S3のフォームを閉じると図S4の布置のグラフが表示される。

図S4

原点（星印）から国（行項目：上向き3角形）あるいは形容詞対（列項目：下向き3角形）の位置までがベクトルを表す。

「幸福」のイメージとして、「美しい」、「好きな」、「良い」、「明るい」、「陽気な」があげられ、「緊張した」とは反対のイメージであることが表されている。「日本」と「台湾」のグループと、「米国」と「セルビア」のグループにまとまっていて、「米国」と「セルビア」のグループでは「幸福」は「動的な」と「派手な」のイメージに近いが、「日本」と「台湾」ではそうではないことが表されている。

引用・参考文献

Brunton, S. L., & Kutz, J. N. (2019). Data-driven science and engineering. New York: Cambridge University Press.

岡太彬訓（私信、2022.11.02）

岡本安晴（2014）　心理学データ分析と測定．勁草書房

岡本安晴（2019）　いまさら聞けないPythonでデータ分析．丸善出版

岡本安晴（2022）　官能評価に使える統計解析ツール　Python編、日本官能評価学会誌、第26巻第2号、102-106.

大山　正（1994）　色彩心理学入門――ニュートンとゲーテの流れを追って――．中公新書．

大山 正・岩脇三良・宮埜嘉夫（2005）「心理学研究法」サイエンス社

Timm, N. H. (1975). Multivariate analysis with applications in education and psychology. Brooks/Cole Publishing Company.

リスト１　2次元配列データの分析スクリプト例

import pandas as pd

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import japanize_matplotlib

# ExcelファイルをPandasのDataFrame型として読み込む

fl_nm = input('Excel Data File(*.xlsx) = ')

xlfile = pd.ExcelFile(fl_nm)

df = pd.read_excel(xlfile)

# １行目の値（列変数名）

col_names = df.keys() # Excelの１行目

c00 = col_names[0] # 行変数名の列のキー名

col_names = col_names[1:] # ２番目以降を取り出す

print('col_names...\n', col_names)

# 行変数名

row_names = df[c00]

print('row_names...\n', row_names)

# セル内の数値

df_data = df.values # ２行目以降が取り出される

F = df_data[:,1:] # 取り出した各行の２列目以降を取り出す

data = np.asfarray(F)

# dataの特異値分解SVD

u, s, vh = np.linalg.svd(data, full_matrices = False)

print('data =\n', data)

p = sum([1 if v > 1.0E-9 else 0 for v in s])

s = s[:p]

print('\ns =', s)

print('p =', p)

u = u[:,:p] # (u.T[:p]).T

vh = vh[:p]

plt.title('Scree Plot of Singular Values', fontsize=14)

plt.plot(range(1, p+1), s, c = 'k')

plt.xticks(np.arange(1, p+1, 1))

plt.ylabel('Value', fontsize = 14)

plt.tight_layout()

plt.savefig('Fig_Singular.png')

plt.show()

print('\n', 'Fig_Singular.png', 'was saved.')

M = len(data)

N = len(data.T)

s1 = np.empty(p)

s2 = np.empty(p)

for t in range(p):

s1[t] = (s[t]**0.5) * ((M/N)**0.25)

s2[t] = (s[t]**0.5) * ((N/M)**0.25)

# 特異値による重み付け

row_coord = u @ np.diag(s1)

col_coord = np.diag(s2) @ vh

#

# 行情報と列情報の積み重ね

#

mrg_coord = np.concatenate((row_coord, col_coord.T), axis = 0)

mrg_label = np.concatenate((row_names, col_names), axis = 0)

#

# 積み重ね座標の中心化と主成分分析（標準偏差の調整無し）

#

mean_X = np.mean(mrg_coord, axis = 0)

Z = mrg_coord - mean_X

w, v = np.linalg.eigh(Z.T @ Z)

sidx = np.argsort(-w)

w = w[sidx]

v = v.T[sidx].T

print('w =\n', w)

plt.title('Scree Plot of w', fontsize=16)

plt.plot(np.arange(len(w))+1,w)

plt.ylabel('Eigen value', fontsize=14)

plt.tight_layout()

plt.savefig('Fig_Eigen.png')

plt.show()

print('\n', 'Fig_Eigen.png', 'was saved.')

#

# 座標軸の回転

#

Proj = v.T

Proj_mrg_coord = (Proj @ mrg_coord.T).T

p_dim = 5 if p > 5 else p

fout = open('Coord.txt', 'w')

fout.write(f'\n\n{"Names":<15s}')

for i in range(p_dim):

fout.write(f'{f"Dim-{i+1}":<15s}')

fout.write('\n')

for i in range(M):

fout.write(f'{row_names[i]:<15s}')

for j in range(p_dim):

fout.write(f'{Proj_mrg_coord[i][j]:<15.5f}')

fout.write('\n')

fout.write('\n')

for i in range(N):

fout.write(f'{col_names[i]:<15s}')

for j in range(p_dim):

fout.write(f'{Proj_mrg_coord[M+i][j]:<15.5f}')

fout.write('\n')

fout.close()

print('\n', 'Coord.txt', 'was saved.')

#

# 布置の描画

#

max_coord = np.max(np.abs(Proj_mrg_coord))

dimx = 0

dimy = 1

while True:

plt.figure(figsize=(7,7)) # figsize = (5, 4))

plt.xticks([-max_coord, max_coord])

plt.yticks([-max_coord, max_coord])

plt.plot(Proj_mrg_coord.T[dimx][:M], Proj_mrg_coord.T[dimy][:M], '^', c = 'g', label = 'Row')

plt.plot(Proj_mrg_coord.T[dimx][M:], Proj_mrg_coord.T[dimy][M:], 'v', c = 'b', label = 'Col')

for i in range(M):

plt.text(Proj_mrg_coord.T[dimx][i], Proj_mrg_coord.T[dimy][i] - 0.05,

row_names[i], rotation = 0, fontsize = 14, color='g')

for i in range(N):

plt.text(Proj_mrg_coord.T[dimx][M + i], Proj_mrg_coord.T[dimy][M + i] + 0.05,

col_names[i], rotation = 0, fontsize = 14, color='b')

plt.plot([0], [0], '*', c = 'm', markersize = 12, label = 'Origin')

plt.plot([-max_coord, max_coord], [0, 0], c = 'k', ls = ':')

plt.plot([0, 0], [-max_coord, max_coord], c = 'k', ls = ':')

plt.legend()#fontsize = 14)

plt.title('Orthogonally Rotated Configulation', fontsize = 16)

plt.xlabel(f'Axis-{dimx+1}', fontsize = 14)

plt.ylabel(f'Axis-{dimy+1}', fontsize = 14)

plt.tight_layout()

plt.savefig(f'FigMapRotatedAixes_{dimx+1}_{dimy+1}.png')

plt.show()

print('\n', f'FigMapRotatedAixes_{dimx+1}_{dimy+1}.png', 'was saved.')

print(f'\nMaximum dimension = {p}')

dimx = int(input('Dimension for x-axis = '))

if dimx < 1:

break

if dimx > p:

dimx = p

dimx -= 1

dimy = int(input('Dimension for y-axis = '))

if dimy < 1:

break

if dimy > p:

dimy = p

dimy -= 1

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