信号検出理論
階層モデル
信号検出理論では、ノイズ刺激とシグナルを含むシグナル刺激の２つの刺激の弁別が扱われる。ノイズ刺激およびシグナル刺激によって惹き起こされる感覚を
および
で表し、それぞれ平均が
および
、分散が
および
の正規分布に従うものとする。すなわち、
である。ノイズ刺激とシグナル刺激の感覚の分散が等しい
等分散モデルについて考える。
感覚の次元の単位と原点を決めるために、
とおく。
等分散モデルのもとでは、平均値の差は、
で表される。すなわち、
である。
シグナル刺激を正しく「シグナル刺激である」と答える反応はHitと呼ばれ、ノイズ刺激を誤って「シグナル刺激である」と答える反応はFalse Alarmと呼ばれている。感覚がある基準値
を越えたとき、「シグナル刺激である」と判断されるとすれば、HitとFalse Alarmの確率は、次式で与えられる。
いま、信号検出理論の実験を４条件、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，で行い、表１の結果を得たとする。
|
表１ |
||||||||
|
|
条件A |
条件B |
条件C |
条件D |
||||
|
|
No |
Yes |
No |
Yes |
No |
yes |
No |
Yes |
|
ノイズ刺激 |
７７ |
２３ |
５０ |
５０ |
７７ |
２３ |
６０ |
４０ |
|
シグナル刺激 |
２３ |
７７ |
２３ |
７７ |
１０ |
９０ |
１１ |
８９ |
各条件においてノイズ刺激が100回、シグナル刺激が100回、ランダムに提示されたときのNo反応（「ノイズ刺激である」という判断）とYes反応（「シグナル刺激である」という判断）の頻度がまとめられている。条件Aを基準にして考えると、条件B]ではシグナル刺激に対する反応の比率は条件Aと同じであるが、ノイズ刺激に対するYes反応が２３回から５０回に増えている。条件Cでは、ノイズ刺激に対する判断の比率は条件Aと同じであるが、シグナル刺激に対するYes反応が７７回から９０回に増えている。条件Dでは、条件Aと比べて、ノイズ刺激とシグナル刺激いずれに対してもYes反応が増えている。
表１のデータを等分散ガウス型モデルで分析するために、パラメータとが以下の階層モデルに従うとする。
条件A、B、C、Dにおけるをda、db、dc、ddで表すとき、これらは共通の分布
に従うものとする。
条件A、B、C、Dにおけるも、共通の分布
に従うものとする。
ハイパーパラメータ
、
、
、
は、次のhyperprior分布に従うものとする。
上の階層モデルをリスト１のようにStanスクリプトで表した。
Stanについての説明は、岡本（2019）で行っている。
リスト１ 信号検出理論の階層モデルのStanスクリプト（sdt_h.stan）
data {
int
NFAa; int NCRa; int NHa; int NMa;
int
NFAb; int NCRb; int NHb; int NMb;
int
NFAc; int NCRc; int NHc; int NMc;
int
NFAd; int NCRd; int NHd; int NMd;
}
parameters {
real dmu_h;
real Cmu_h;
real<lower = 0> dsgm_h;
real<lower = 0> Csgm_h;
real da; real Ca; real db; real Cb;
real dc; real Cc; real dd; real
Cd;
}
model {
dmu_h
~ normal(0, 5);
Cmu_h
~ normal(0, 5);
dsgm_h
~ uniform(0, 5);
Csgm_h
~ uniform(0, 5);
da ~ normal(dmu_h, dsgm_h);
db
~ normal(dmu_h, dsgm_h);
dc ~ normal(dmu_h, dsgm_h);
dd
~ normal(dmu_h, dsgm_h);
Ca ~ normal(Cmu_h, Csgm_h);
Cb
~ normal(Cmu_h, Csgm_h);
Cc ~ normal(Cmu_h, Csgm_h);
Cd ~ normal(Cmu_h, Csgm_h);
NFAa
~ binomial(NFAa+NCRa, 1.0 - normal_cdf(Ca,
0.0, 1.0));
NHa
~ binomial(NHa+NMa, 1.0 - normal_cdf(Ca,
da, 1.0));
NFAb
~ binomial(NFAb+NCRb, 1.0 - normal_cdf(Cb, 0.0, 1.0));
NHb
~ binomial(NHb+NMb, 1.0 - normal_cdf(Cb, db, 1.0));
NFAc
~ binomial(NFAc+NCRc, 1.0 - normal_cdf(Cc,
0.0, 1.0));
NHc
~ binomial(NHc+NMc, 1.0 - normal_cdf(Cc,
dc, 1.0));
NFAd
~ binomial(NFAd+NCRd, 1.0 - normal_cdf(Cd,
0.0, 1.0));
NHd
~ binomial(NHd+NMd, 1.0 - normal_cdf(Cd,
dd, 1.0));
}
リスト１のStanスクリプトを用いて表１のデータを分析するPythonスクリプトを、リスト２のように用意した。これらのスクリプトファイルは圧縮ファイルfilesSDT_h.zipにまとめたので、ダウンロード・展開すれば自由に利用できる。
リスト２ 表１のデータを分析するスクリプト（sdt_eqvar_h.py）
import numpy
as np
import scipy.stats
as ss
import matplotlib.pyplot
as plt
import seaborn
as sb
import pystan
sm = pystan.StanModel(file
= 'sdt_h.stan')
NFAa = 23; NCRa
= 77;
NHa = 77; NMa = 23;
NFAb = 50; NCRb
= 50;
NHb = 77; NMb = 23;
NFAc = 23; NCRc
= 77;
NHc = 90; NMc = 10;
NFAd = 40; NCRd
= 60;
NHd = 89; NMd = 11;
sdt_data = {'NFAa' :
NFAa, 'NCRa': NCRa,
'NHa': NHa, 'NMa': NMa,
'NFAb': NFAb, 'NCRb': NCRb,
'NHb': NHb, 'NMb': NMb,
'NFAc': NFAc, 'NCRc':NCRc,
'NHc': NHc, 'NMc': NMc,
'NFAd': NFAd, 'NCRd': NCRd,
'NHd': NHd, 'NMd':NMd}
fit = sm.sampling(data
= sdt_data, n_jobs = 1)
print(fit)
da_med = np.median(fit['da'])
db_med = np.median(fit['db'])
dc_med = np.median(fit['dc'])
dd_med = np.median(fit['dd'])
sb.kdeplot(fit['da'], label = 'da')
sb.kdeplot(fit['db'],
label = 'db')
sb.kdeplot(fit['dc'], label = 'dc')
sb.kdeplot(fit['dd'],
label = 'dd')
plt.legend()
plt.title("Distributions of d'" +
'\nda_med = {0:.2f}, db_med
= {1:.2f}, dc_med = {2:.2f}, dd_med
= {3:.2f}'.format(
da_med, db_med, dc_med, dd_med))
plt.savefig('Figdprime.png')
plt.show()
Ca_med = np.median(fit['Ca'])
Cb_med = np.median(fit['Cb'])
Cc_med = np.median(fit['Cc'])
Cd_med = np.median(fit['Cd'])
sb.kdeplot(fit['Ca'], label = 'Ca')
sb.kdeplot(fit['Cb'],
label = 'Cb')
sb.kdeplot(fit['Cc'], label = 'Cc')
sb.kdeplot(fit['Cd'], label = 'Cd')
plt.legend()
plt.title('Distributions of C' +
'\nCa_med = {0:.2f}, Cb_med
= {1:.2f}, Cc_med = {2:.2f}, Cd_med
= {3:.2f}'.format(
Ca_med, Cb_med, Cc_med, Cd_med))
plt.savefig('FigC.png')
plt.show()
dmu_h_med = np.median(fit['dmu_h'])
Cmu_h_med = np.median(fit['Cmu_h'])
sb.kdeplot(fit['dmu_h'],
label = 'dmu_h')
sb.kdeplot(fit['Cmu_h'],
label = 'Cmu_h')
plt.legend()
plt.title('dmu_h_med
= {0:.2f}, Cmu_h_med = {1:.2f}'.format(dmu_h_med, Cmu_h_med))
plt.savefig('Figdmu_h.png')
plt.show()
dsgm_h_med = np.median(fit['dsgm_h'])
Csgm_h_med = np.median(fit['Csgm_h'])
sb.kdeplot(fit['dsgm_h'],
label = 'dsgm_h')
sb.kdeplot(fit['Csgm_h'],
label = 'Csgm_h')
plt.legend()
plt.title('dsgm_h_med
= {0:.2f}, Csgm_h_med = {1:.2f}'.format(dsgm_h_med, Csgm_h_med))
plt.savefig('Figdsgm_h.png')
plt.show()
plt.hist(fit['dsgm_h'],
label = 'dsgm_h', alpha = 0.3)
plt.hist(fit['Csgm_h'],
label = 'Csgm_h', alpha = 0.3)
plt.legend()
plt.title('dsgm_h_med
= {0:.2f}, Csgm_h_med = {1:.2f}'.format(dsgm_h_med, Csgm_h_med))
plt.savefig('Figdsgm_h_hist.png')
plt.show()
リスト２のスクリプトを実行すると、以下の結果を得る。
まず、、すなわちda、db、dc、ddの事後分布が表示される（図１）。
図１
条件AとＤの事後分布が重なっており、条件Bより右側、条件Ｃより左側に位置している。
図１のフォームを閉じると、図２のグラフが表示される。
図２
判断の基準値の事後分布であるが、条件Bの事後分布が最も左側にあり、その右に条件Dの事後分布が位置している。条件AとCの基準値の事後分布が重なって一番右側に位置している。
図２のフォームを閉じると、図３のグラフが表示される。
図３
ハイパーパラメータdmu_hとCmu_hの事後分布である。
図３のフォームを閉じると、図４のグラフが表示される。
図４
ハイパーパラメータdsgmとCsgmの事後分布である。これらのパラメータは負の値を取らないはずなのに、グラフが０より左側、負の領域にはみ出しているのは、滑らかなグラフを描くためにKDEを用いているからである。。
図４のフォームを閉じると、ヒストグラムのグラフが表示される（図５）。
図５
事後分布が正の領域に収まっていることが判る。