三すくみの内積表現
2次元配列データは、このウェブサイトに示されているように、ベクトルによる内積で表現できる。三竦み（三すくみ）の関係のように非線形の順序関係は数値を当てはめて表すことは難しい。三竦みの関係を2次元配列データとして表し、ベクトルの内積で表してみる。まず、３個体の三すくみ、グー（Rock）・チョキ（Scissors）・パー（Paper）の場合を扱い、次に3個体以上の場合として６個体のデータの分析を示して、内積表現の有用性の示唆とする。
三竦みの関係を2次元配列で表すために、行項目の列項目に対する勝ち負けを対応するセルの値で表す。「行項目が列項目に勝つ」ときセルの値を１とし、「行項目が列項目に負ける」ときはセルの値をー１とする。勝ち負けが無いときは０とする。行項目と列項目が同じであるとき（対角要素）は０とおく。このとき、行項目および列項目をベクトルで表したとき、「勝ち・負け」の関係を図１のように表してみる。行項目Aが列項目Xに勝つとき、列項目Xを表すベクトルは行項目Aを表すベクトルの近くに位置し（ベクトルとしてほぼ同じ方向を向いている）、行項目Aが列項目Yに負けるとき、列項目Yを表すベクトルは行項目Aを表すベクトルと反対の方向に位置している。
図１ 勝ち負けの関係とベクトルの関係
三すくみの例としてジャンケンのグー・チョキ・パーを2次元配列データとして表したものを図２に示す。
図２ グ・チョキ・パーの勝敗表
行項目グー、パー、チョキを大文字（Roc、Pap、Sci）で、列項目を小文字（roc、pap、sci）で表している。これらの勝ち負けを表す数値、１，０，−1をベクトルの内積として表現するベクトルはこのウェブサイトで説明されているように特異値分解から導くことができる。得られたベクトルを図３に示す。
図３ 図２のデータの内積表現のベクトル
中央に表示されている星印は原点を表している。項目のベクトルは、原点から各項目の布置までのベクトルである。すなわち、図3に表示されている項目の布置はベクトルの端点である。青の大文字で表記されているのが行項目であり、赤の小文字で表記されているのが列項目である。行項目「Sci」の側に列項目「pap」が置かれているのは、「Sci」が「pap」に勝つことを表し、行項目「Sci」の原点を挟んで反対側に「roc」があるのは、「Sci」が「roc」に負けることを表している。青大文字「Sci」が赤小文字「sci」と原点を始点として直交の位置関係であり、内積（勝ち負けの値）が０であることに対応している。
このように、図３はベクトルの内積として三すくみ関係を表していることが解る。
図２は、３つのものを行項目と列項目に分けてデータとしているが、より現実的なデータとして６つのものについて図４のようなデータを作成した。
図４ ６つのものの勝ち負けの関係
図４のデータに対して、このウェブサイトの方法により特異値分解から内積表現を求めると図５の布置を得る。
図５ ６つのものの勝ち負け関係の内積表現のベクトル
「Roc」と「Roc1」、「Sci」と「Sci1」、「Pap」と「Pap1」が行項目としてまとまっている。列項目は、「sci」と「sci1」、「pap」と「pap1」、「roc」と「roc1」がまとまっている。これらのまとまりの配置は、＜「Roc」と「Roc1」、「roc」と「roc1」＞、＜「Sci」と「Sci1」、「sci」と「sci1」＞、＜「Pap」と「Pap1」、「pap」と「pap1」＞の３グループ間の三すくみ関係を表しているといえる。
実データに三すくみ関係のような非線形順序関係がある場合、これらの関係を単純な数値の関係によって表すことは難しいと思われるが、各項目のベクトルの内積表現により非線形順序関係が表されることが期待される。
なお、用いたファイルは圧縮ファイルtripartite_innerprod_files.zipにまとめた。