経験比率と確率

ゲームのシミュレーション

ゲームの経験的勝率がゲームを多数回行っていくと確率に近付くことをSpiegelhalter(2019)はシミュレーションで示している。ゲーム１とゲーム２の２つのゲームが扱われている。

ゲーム１：

サイコロを４回投げて、６の目が１回以上出たら勝ち。1回も出なかったら負け。

ゲーム２：

２個のサイコロを24回投げて、2個のサイコロの目が2つとも６の目であるということが１回以上あれば勝ち。2個のサイコロの目が６であるということが１回も起こらなかったら負け。

ゲーム１において勝つ確率は次式で与えられる。

ゲーム２において勝つ確率は次式で与えられる。

ゲーム数を増やしていくと、経験的勝率がどのように変化していくかを見るシミュレーションプログラムを、Spiegelhalter(2019), p. xviに記載されているウェブサイトからダウンロードしたファイル（Rスクリプト）を参考にして、リスト１に示すもの（Pythonスクリプト）を書いてみた。

ゲーム１のシミュレーションは、確率のベルヌーイ分布（試行数１の2項分布）で表している。

play1 = rng.binomial(1, 1.0 - (5/6)**4, n_games)

ゲーム２のシミュレーションは確率のベルヌーイ分布によるシミュレーションである。

play2 = rng.binomial(1, 1.0 - (35 / 36)**24, n_games)

リスト１のプログラムを実行すると、図１のグラフが表示される。

図１

上のグラフが、100回目までのグラフで、下のグラフは10000までのグラフである。100回目までの勝率を示す上のグラフは変動がかなり認められるが、10000回目までの勝率を示す下のグラフでは、2000回を超えると、それぞれの経験勝率が確率の近くで安定しているように見える。

リスト１　ゲームのシミュレーション

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng()

n_games = 10000

play1 = rng.binomial(1, 1.0 - (5/6)**4, n_games)

cum_play1 = np.cumsum(play1)

cum_n = np.arange(1, n_games+1)

prop1 = cum_play1 / cum_n

play2 = rng.binomial(1, 1.0 - (35 / 36)**24, n_games)

cum_play2 = np.cumsum(play2)

prop2 = cum_play2 / cum_n

plt.figure(figsize=(7,7))

# ゲーム数200までの描画

plt.subplot(211)

plt.plot(cum_n[:101], prop1[:101], c='b', label='Game 1')

plt.plot(cum_n[:101], prop2[:101], c='r', label='Game 2')

plt.hlines(0.5, 0, 100, ls='--', color='k', label='0.5')

plt.xticks([0]+[v for v in np.arange(19,101,20)],

[1]+[v for v in np.arange(20,101,20)])

plt.xlabel('Number of games')

plt.ylabel('Proportion of wins')

plt.legend()

# ゲーム数2000までの描画

plt.subplot(212)

plt.plot(cum_n, prop1, c='b', label='Game 1')

plt.plot(cum_n, prop2, c='r', label='Game 2')

plt.hlines(0.5, 0, 10000, ls='--', color='k', label='0.5')

plt.xticks([0]+[v for v in np.arange(1999, 11000, 2000)],

[1]+[v for v in np.arange(2000, 11000, 2000)])

plt.xlabel('Number of games')

plt.ylabel('Proportion of wins')

plt.legend()

plt.tight_layout()

plt.show()

参考文献

岡本安晴（2019）　いまさら聞けないPythonでデータ分析．丸善出版

Spiegelhalter, D. (2019). The art of statistics: Learning from data. Pelican

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