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マグニチュード推定法

ベイズ分析

 

プロセティックな感覚(量的な感覚)の場合、物理刺激量と感覚量の間の関係を表す式として、べき法則と呼ばれている次式

あるいは、これをより一般化した次式

がある。ただし、式番号は<岡本安晴(2014)「心理学データ分析と測定」勁草書房>におけるものである。

心理物理学実験において、第試行で提示された物理刺激の物理量をで、その感覚量のマグニチュード推定量(Magnitude Estimation: ME)をで表すとき、以下のモデルを設定する(Stevens, 1975; p. 169)。

モデル(10.2.1)に対しては、

モデル(10.2.2)に対しては、

上記の確率モデルをデータに適用して、ベイズ分析によりパラメータ値を求める。ベイズ分析については、<岡本安晴「いまさら聞けないPythonでデータ分析」丸善出版>の題3部、第9章〜第15章、で説明している。

まず、一般化されたモデル(10.2.4)による分析について説明する。その後、モデル(10.2.4)においてと置いた場合のモデル(10.2.3)による分析例を示す。

本ウェブサイトのプログラム例とサンプルデータのファイルは、圧縮ファイルfilesMagEstBysn.zipにまとめている。ダウンロード展開すれば、自由に利用できる。

 

モデル(10.2.4)をStanスクリプトとしてリスト1のように表した。ベイズ分析のためのライブラリStanPython用モジュールPyStanのインストールについては、このウェブサイトで説明している。

 

リスト1 モデル(10.2.4)のStanスクリプト(MEc.stan

data {

    int N;

    real Sts[N];

    real MEs[N];

}

transformed data {

    real LogMEs[N];

    real minSt;

    for (i in 1:N) {

        LogMEs[i] = log(MEs[i]);

    }

    minSt = Sts[1];

    for (i in 2:N) {

        if (minSt > Sts[i]) {

            minSt = Sts[i];

        }

    }

}

parameters {

    real<lower = 0.0> a;

    real<lower = 0.0> v_c;

    real<lower = 0.0> b;

    real<lower = 0.0> sgm;

}

transformed parameters {

    real<upper = minSt> c;

    c = minSt - v_c;

}

model {

    a ~ exponential(0.001);

    v_c ~ exponential(0.001);

    b ~ exponential(0.001);

    sgm ~ exponential(0.001);

    for (i in 1:N) {

        LogMEs[i] ~ normal(log(a * pow(Sts[i] - c, b)), sgm);   //   Eq. (10.2.4)

    }

}

 

リスト1のStanスクリプト(ファイル名MEc.stan)を利用してマグニチュード推定法データを分析するPythonスクリプトは、本ウェブサイトの後ろにリストA.1として示した。

リストA.1のファイルMainMagEst_cBysn.pyを実行すると、入力データファイル名の設定が求められる(図1)。

図1

 

入力データファイルは、Excelファイルとして図2の形式で用意する。

図2

 

図2のデータは、<岡本安晴「心理学データ分析と測定」勁草書房>の表10.1.1のデータを入力したものである。1行目は、データの変数名を入力する。データは2行目から入力する。

1列目はデータの識別用で、図2では試行が入力されている。この第1列目は、データの識別用であり、数値でも文字でも何でもよい。また、識別用であるが、同じ値を繰り返して用いてもよい。データの分析においては無視される。2列目に提示刺激の物理量、3列目にマグニチュード推定値を入力する。

入力データファイル名を設定入力すると、データが読み込まれ、次に出力用テキストファイル名の入力が求められる(図3)。

図3

 

出力用テキストファイル名として適当なテキストファイル名を設定する。図3では、Results.txtと設定している。

出力テキストファイル名の設定後、Stanスクリプトのコンパイルが始まり、コンパイル・ビルド後、MCMCによる事後分布のサンプリングが始まる。

サンプリングが終了すると、パラメータa,b,cの事後分布の散布図が表示される(図4)。

図4

 

サンプリングによるシミュレーションで推定された事後分布であるので、プログラムの実行ごとにランダムな変動があることに注意。

図4のグラフは、ドラッグして回転することができる(図5)。

図5

 

図5を見ると、パラメータは3次元空間の点であるが、平らなネクタイ状の帯が曲がった形のような分布であることが分かる。このような分布の場合、パラメータを1つずつサンプリング更新する方法では、サンプリングは分布内を偏りなく行うことは難しいと言われている。これに対して、Stanで用いられているHMCという方法は、図3のような分布の場合も分布内を偏りなくサンプリングできることが期待されるとされている。

グラフは保存ボタンをクリックしてファイルに保存することができる。ウィンドウの右上の閉じるボタンをクリックするとウィンドウは閉じられる。

図5のウィンドウを閉じると、パラメータaの事後分布が表示される(図6)。

図6

 

図6のウィンドウを閉じると、パラメータbの事後分布が表示される(図7)。

図7

 

図7のウィンドウを閉じると、パラメータcの事後分布が表示される(図8)。

図8

 

パラメータcの事後分布の95CIが[-466.60, 114.45]であり、が事後分布の中ほどにあるので、とするモデル(10.2.1)およびモデル(10.2.3)の適用が考えられる。

図8のウィンドウを閉じると、パラメータの対(a,b)の散布図が表示される(図9)。

図9

 

図9のウィンドウを閉じると、パラメータの対(a,c)の散布図が表示される(図10)。

10

 

10のウィンドウを閉じると、パラメータの対(b,c)の散布図が表示される(図11)。

11

 

11のウィンドウを閉じると、図12のグラフが表示される。

12

 

12では、データの点、およびモデル(10.2.2)においてパラメータa,b,cの推定値として事後分布の中央値を採用したときのグラフが描かれている。

12のウィンドウを閉じると、出力用テキストファイルが保存されたことを示すメッセージが表示されて、プログラムの実行終了となる(図13)。

13

 

出力用テキストファイルは、プログラムの実行終了後、開くことができる。上の出力用テキストファイルを開くと、以下のようになっている。

Input Data File = Data.xlsx

 

Inference for Stan model: anon_model_67e769f13742dd0ad7df53ce721ec933.

4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;

post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.

 

       mean se_mean     sd   2.5%    25%    50%    75%  97.5%  n_eff   Rhat

a      0.09  3.5e-3    0.1 1.9e-3   0.03   0.06   0.13   0.35    752    1.0

v_c  251.23    5.99 147.13  65.49 150.72 217.23  312.4 646.74    604   1.01

b      0.68  6.8e-3   0.17   0.42   0.56   0.66   0.77    1.1    627   1.01

sgm    0.32  1.0e-3   0.03   0.27    0.3   0.32   0.34    0.4   1149    1.0

c    -71.23    5.99 147.13 -466.7 -132.4 -37.23  29.28 114.51    604   1.01

lp__  32.71    0.05    1.5  28.85  31.94  33.06  33.81  34.55   1056    1.0

 

Samples were drawn using NUTS at Sat Oct 17 19:55:07 2020.

For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,

and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at

convergence, Rhat=1).

 

 

パラメータcの事後分布(図8)において、「c=0」の可能性が示されたので、次に「c=0」であるモデル(10.2.1)すなわちモデル(10.2.3)による分析を行う。

 

 

モデルの場合

確率モデル

Stanスクリプトをリスト2のように用意した。ベイズ分析のライブラリStanPython用インターフェースであるPyStanのインストールについてはこのウェブサイトで説明している。

 

リスト2 確率モデル(10.2.3)のスタンスクリプト(ME.stan

data {

    int N;

    real Sts[N];

    real MEs[N];

}

parameters {

    real<lower = 0.0> a;

    real<lower = 0.0> b;

    real<lower = 0.0> sgm;

}

model {

    a ~ exponential(0.001);

    b ~ exponential(0.001);

    sgm ~ exponential(0.001);

    for (i in 1:N) {

        log(MEs[i]) ~ normal(log(a * pow(Sts[i], b)), sgm);   //   Eq. (10.2.3)

    }

}

 

リスト2のStanスクリプト(ME.stan)を利用するPythonスクリプトを、本ウェブサイトの後半にリストA.2として示す。スクリプトファイルとサンプルデータファイルは、圧縮ファイルfilesMagEstBysn.zipにまとめたので、ダウンロード展開すれば自由に利用できる。Pythonのインストールは、このウェブサイトで説明している。

リストA.2のプログラムMainMagEstBysn.pyを実行すると、まず入力データファイル名の設定が求められる(図14)。

14

 

入力データファイルは、図2の形式のものである。図14では、図2のファイルを指定している。

入力データファイル名を設定すると、データが読み込まれ、次に出力用テキストファイル名の設定が求められる(図15)。

15

 

出力用テキストファイル名を設定すると、Stanスクリプトのコンパイル・ビルドと実行が始まり、MCMCサンプリングが行われる。MCMCサンプリングの終了後、まずパラメータaの事後分布が表示される(図16)。

16

 

16のウィンドウを閉じると、パラメータbの事後分布が表示される(図17)。

17

 

17のウィンドウを閉じると、パラメータabの対(a,b)の散布図が表示される(図18)。

18

 

18のウィンドウを閉じると、データ点と関数が表示される(図19)。

19

 

関数のパラメータaとbの値は、それぞれの事後分布の中央値である。

19のウィンドウを閉じると、出力用テキストファイルが保存されたことが表示されて、プログラムの実行終了となる(図20)。

20

 

プログラムの実行終了後、出力ファイルを開くと以下のようになっている。

Input Data File = Data.xlsx

 

Inference for Stan model: anon_model_b305c1b80ad3836e8ae6a1d7ad789c19.

4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;

post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.

 

       mean se_mean     sd   2.5%    25%    50%    75%  97.5%  n_eff   Rhat

a      0.09  1.1e-3   0.04   0.04   0.07   0.09   0.11   0.18   1037   1.01

b      0.62  1.6e-3   0.06   0.51   0.58   0.62   0.66   0.73   1326   1.01

sgm    0.32  8.9e-4   0.04   0.27    0.3   0.32   0.35   0.41   1573    1.0

lp__  28.05    0.04   1.35  24.66  27.42  28.43  29.03  29.55   1151    1.0

 

Samples were drawn using NUTS at Sat Oct 17 21:35:18 2020.

For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,

and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at

convergence, Rhat=1).

 

 

引用文献

Stevens, S. S. (1975). Psychophysics: Introduction to its Perceptual, Neural, and Social Prospects. Wiley.

 

 

リストA.1 リスト1のStanスクリプトを利用するPythonスクリプト

import numpy as np

import pandas as pd

import pystan

import matplotlib as mplt

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sb

 

finnm = input('Input Data File (*.xlsx) = ')

 

xlsx_fl = pd.ExcelFile(finnm)

data_xlsx = pd.read_excel(xlsx_fl,  header = None)

data = data_xlsx.values

 

foutnm = input('Output Text File (*.txt) = ')

fout = open(foutnm, 'w')

fout.write('Input Data File = {}\n'.format(finnm))

 

N = len(data) - 1

Sts = [v for v in data[1:, 1]]

MEs = [v for v in data[1:, 2]]

print('N =', N)

print(len(Sts))

print(len(MEs))

 

for st, me in zip(Sts, MEs):

    print(st, me)

 

Data = {'N':N, 'Sts':Sts, 'MEs':MEs}

 

sm = pystan.StanModel(file = 'MEc.stan')

 

fit = sm.sampling(data = Data, n_jobs = 1)

print(fit)

 

fout.write('\n{}'.format(fit))

 

fig = plt.figure(figsize = (7,7))

ax = fig.add_subplot(111, projection = '3d')

ax.scatter(fit['a'], fit['b'], fit['c'])

ax.set_xlabel('a', fontsize = 16)

ax.set_ylabel('b', fontsize = 16)

ax.set_zlabel('c', fontsize = 16)

plt.title('Scatter plot of (a,b,c)', fontsize = 20)

plt.show()

 

mean_a = fit['a'].mean()

P025_a, P50_a, P975_a = np.percentile(fit['a'], [2.5, 50, 97.5])

 

plt.title('Posterior Distribution of a', fontsize = 20)

sb.kdeplot(fit['a'], clip = (0.0, max(fit['a'])),

           label ='Mean = {0:.2f}\nMed = {1:.2f}\n95%CI = [{2:.2f}, {3:.2f}]'.

           format(mean_a, P50_a, P025_a, P975_a))

plt.xlabel('a', fontsize = 18)

plt.ylabel('Density', fontsize = 14)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

mean_b = fit['b'].mean()

P025_b, P50_b, P975_b = np.percentile(fit['b'], [2.5, 50, 97.5])

 

plt.title('Posterior Distribution of b', fontsize = 20)

sb.kdeplot(fit['b'], label = 'Mean = {0:.2f}\nMed = {1:.2f}\n95%CI = [{2:.2f}, {3:.2f}]'.

           format(mean_b, P50_b, P025_b, P975_b))

plt.xlabel('b', fontsize = 18)

plt.ylabel('Density', fontsize = 14)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

mean_c = fit['c'].mean()

P025_c, P50_c, P975_c = np.percentile(fit['c'], [2.5, 50, 97.5])

 

plt.title('Posterior Distribution of c', fontsize = 20)

sb.kdeplot(fit['c'], label ='Mean = {0:.2f}\nMed = {1:.2f}\n95%CI = [{2:.2f}, {3:.2f}]'.

           format(mean_c, P50_c, P025_c, P975_c))

plt.xlabel('c', fontsize = 18)

plt.ylabel('Density', fontsize = 14)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

plt.title('Scattergram of (a,b)', fontsize = 20)

plt.plot(fit['a'], fit['b'], 'bo')

plt.xlabel('a', fontsize = 18)

plt.ylabel('b', fontsize = 18)

plt.show()

 

plt.title('Scattergram of (a,c)', fontsize = 20)

plt.plot(fit['a'], fit['c'], 'bo')

plt.xlabel('a', fontsize = 18)

plt.ylabel('c', fontsize = 18)

plt.show()

 

plt.title('Scattergram of (b,c)', fontsize = 20)

plt.plot(fit['b'], fit['c'], 'bo')

plt.xlabel('b', fontsize = 18)

plt.ylabel('c', fontsize = 18)

plt.show()

 

min_St = min(Sts)

max_St = max(Sts)

St_Values = np.arange(min_St, max_St, (max_St - min_St) / 1000.0)

 

def PowerLaw(x, a, b, c):

    return a * ((x - c) ** b)

 

plt.plot(Sts, MEs, 'bo', alpha = 0.5, label = 'Data')

plt.plot(St_Values, [PowerLaw(v, P50_a, P50_b, P50_c) for v in St_Values], 'k-',

         label = r'$\psi=a(\varphi-c)^b$' + ('\na = {0:.3f}'.format(P50_a)) +

                     ('\nb = {0:.3f}'.format(P50_b)) +

                      ('\nc = {0:.3f}'.format(P50_c)))

plt.xlabel(r'$\varphi$', fontsize = 18)

plt.ylabel(r'$\psi$', fontsize = 18)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

fout.close()

print()

print(foutnm + ' was saved.')

print()

 

 

リストA.2 リスト2のStanスクリプトを利用するPythonスクリプト(MainMagEstBysn.py

import numpy as np

import pandas as pd

import pystan

import matplotlib as mplt

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sb

 

finnm = input('Input Data File (*.xlsx) = ')

 

xlsx_fl = pd.ExcelFile(finnm)

data_xlsx = pd.read_excel(xlsx_fl,  header = None)

data = data_xlsx.values

 

foutnm = input('Output Text File (*.txt) = ')

fout = open(foutnm, 'w')

fout.write('Input Data File = {}\n'.format(finnm))

 

N = len(data) - 1

Sts = [v for v in data[1:, 1]]

MEs = [v for v in data[1:, 2]]

print('N =', N)

print(len(Sts))

print(len(MEs))

 

for st, me in zip(Sts, MEs):

    print(st, me)

 

Data = {'N':N, 'Sts':Sts, 'MEs':MEs}

 

sm = pystan.StanModel(file = 'ME.stan')

 

fit = sm.sampling(data = Data, n_jobs = 1)

 

print(fit)

fout.write('\n{}'.format(fit))

 

mean_a = fit['a'].mean()

P025_a, P50_a, P975_a = np.percentile(fit['a'], [2.5, 50, 97.5])

 

plt.title('Posterior Distribution of a', fontsize = 20)

sb.kdeplot(fit['a'], clip = (0.0, max(fit['a'])),

           label ='Mean = {0:.2f}\nMed = {1:.2f}\n95%CI = [{2:.2f}, {3:.2f}]'.

           format(mean_a, P50_a, P025_a, P975_a))

plt.xlabel('a', fontsize = 18)

plt.ylabel('Density', fontsize = 14)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

mean_b = fit['b'].mean()

P025_b, P50_b, P975_b = np.percentile(fit['b'], [2.5, 50, 97.5])

 

plt.title('Posterior Distribution of b', fontsize = 20)

sb.kdeplot(fit['b'], label = 'Mean = {0:.2f}\nMed = {1:.2f}\n95%CI = [{2:.2f}, {3:.2f}]'.

           format(mean_b, P50_b, P025_b, P975_b))

plt.xlabel('b', fontsize = 18)

plt.ylabel('Density', fontsize = 14)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

plt.title('Scattergram of (a,b)', fontsize = 20)

plt.plot(fit['a'], fit['b'], 'bo')

plt.xlabel('a', fontsize = 18)

plt.ylabel('b', fontsize = 18)

plt.show()

 

min_St = min(Sts)

max_St = max(Sts)

St_Values = np.arange(min_St, max_St, (max_St - min_St) / 1000.0)

 

def PowerLaw(x, a, b):

    return a * (x ** b)

 

plt.plot(Sts, MEs, 'bo', alpha = 0.5, label = 'Data')

plt.plot(St_Values, [PowerLaw(v, P50_a, P50_b) for v in St_Values], 'k-',

         label = r'$\psi=a\varphi^b$' + ('\na = {0:.3f}'.format(P50_a)) +

                     ('\nb = {0:.3f}'.format(P50_b)))

plt.xlabel(r'$\varphi$', fontsize = 18)

plt.ylabel(r'$\psi$', fontsize = 18)

plt.legend(fontsize = 12)

plt.tight_layout()

plt.show()

 

fout.close()

print()

print(foutnm + ' was saved.')

print()

 

 

 

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