確率分布シミュレーションいろいろ
データ分析において確率モデルを用いることがある。ベイズ分析では、確率モデルは必須である。用いる機会のある確率分布の幾つかについてシミュレーションを行ってみることにした。
心理学においてよく用いられる確率分布として正規分布（ガウス分布と呼ばれることもある）を取り上げてみた。
正規分布は、中心極限定理により多数の要因がランダムに働くことにより生成される確率変数であると説明されることが多いが、このとき多数の要因は加法的に働く。いま、要因が乗法的に働くとすると対数正規分布が得られる。このことをシミュレーションで見てみる。
誤差あるいは残差の二乗の和の分布としてカイ二乗分布が使われることがある。残差あるいは誤差が正規分布するとき、正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことからカイ二乗分布が統計分析において用いられるが、正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことを示すシミュレーションスクリプトを書いてみた。
サンプルの平均値を分散（標準偏差）と比較して平均値についての判断を行うとき、平均値は正規分布（ガウス分布）、分散はカイ二乗分布に従うとして、分散の平方根（平均値に対応する標準偏差）に対する平均値の比の分布としてのｔ分布が用いられることがある。ｔ分布についてのシミュレーションを行ってみた。
要因による効果を反映した分散をノイズのみの効果を表す分散と比較するときに、要因の効果を反映する非心度のカイ二乗分布をノイズのみの分散に対応するカイ二乗分布に対する比の分布として非心F分布の利用が考えられる。非心カイ二乗分布とカイ二乗分布の比の分布として非心F分布のシミュレーションを行った。
時間軸上において生起確率が一様である事象が、観測値としては幾つかがまとまって生起したり、あるいはある期間生起が観測されなかったりと、見かけ上の群化が観測される。これを幾何分布のシミュレーションで確認する。幾何分布の時間の連続量版としての指数分布のシミュレーションも行う。また、指数分布に基づいて単位時間内の事象の生起頻度のシミュレーションを行い、ポアッソン分布であることを確認する。
参考資料
岡本安晴（2019）いまさら聞けないPythonでデータ分析．丸善出版