（非心）カイ二乗分布のシミュレーション
誤差あるいは残差は正規分布で表されることが多い。正規分布の2乗和はカイ二乗分布に従うので、誤差あるいは残差を扱うかｋ鵜率的統計モデルでは、カイ二乗分布が用いられることが多い。正規分布の二乗和がカイ二乗分布に従うことを示すシミュレーションスクリプトを書いてみた。
独立な正規分布に従う
個の確率変数
を考える。の平均値は
、標準偏差は１とする。このとき
は、非心度
、自由度
の非心カイ二乗分布に従う。ここで、
である。
式（１）は、点
の原点からの距離の２乗であるので、非心カイ二乗分布は、点
を中心に共分散行列が単位行列である多変量正規分布に従う確率変数の原点からの距離の２乗の分布であると考えられる。このことを、
の場合についてシミュレーションで確認する。
まず、２変量正規分布として、平均値が
のものを考える。共分散行列は単位行列である。
リスト１のスクリプトで、分布の様子を描くと、図１のようである。
図１
リスト１
import
scipy.stats as ss
import matplotlib.pyplot as plt
n_simu = 1_000
x = ss.multivariate_normal.rvs([3, 4],
[[1, 0],[0, 1]], size=n_simu)
plt.figure(figsize=(7,7))
plt.plot(x.T[0], x.T[1], 'o',
markerfacecolor='none')
plt.plot([-1, 7], [0, 0], c='k', lw=2)
plt.plot([0, 0], [-1, 7], c='k', lw=2)
plt.plot([-1, 7], [4, 4], c='k', lw=1)
plt.plot([3, 3], [-1, 7], c='k', lw=1)
plt.xlabel('X1', fontsize=16)
plt.ylabel('X2', fontsize=16)
plt.show()
図１の分布で表される２変量正規分布に従う点
の原点からの距離の２乗の分布をシミュレーションで求め、ヒストグラムを描くと図２のようになった。
図２
赤色の曲線で描かれているのは、非心度
、自由度
の非心カイ二乗分布の確率密度関数である。ヒストグラムは、赤色の曲線によく合っているといえる。
図２を描いたスクリプトをリスト２に示す。
リスト２
import scipy.stats as ss
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
n_simu = 1_000_000
x = ss.multivariate_normal.rvs([3, 4],
[[1, 0],[0, 1]], size=n_simu)
smpl = np.sum(x**2, axis=1)
xcoord = np.linspace(0.0,
np.max(smpl), 1000)
ycoord = ss.ncx2.pdf(xcoord, 2, 5**2)
plt.hist(smpl, density=True,
bins=np.arange(np.max(smpl)+1))
plt.plot(xcoord, ycoord, c='r',
label='df=2, nc=5**2')
plt.legend()
plt.show()
非心度
の分布は、カイ二乗分布と呼ばれている。
平均値が０，
、すなわち、原点を中心として分布している場合のヒストグラムを描いたものが図３である。
図３
ヒストグラムと自由度の７回二乗分布のグラフ（赤色の曲線）がよく合っていることがわかる。
参考文献
Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2005) Introduction to Mathematical Statistics, 6th ed. Pearson Education, Inc.