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（非心）ｔ分布のシミュレーション

データの平均値は正規分布に従い、平均値の分散はカイ二乗分布に関係づけられるとして分析が行われることがある。

平均値の検定を標準偏差（分散の平方根）との関係において行うときは、平均値が正規分布に従い、標準偏差の二乗（分散）がカイ二乗分布で表されることから、正規分布とカイ二乗分布を自由度で割った値の平方根の比の分布であるｔ分布が使われる。このことの簡単なシミュレーションを行ってみた。

正規分布に従う確率変数とカイ二乗分布に従う確率変数が独立であらるとき、次式

は非心度、自由度の非心ｔ分布に従う。非心度のときは、自由度のｔ分布に従う。

いま、平均値10、分散１の正規分布に従う確率変数と、自由度５のカイ二乗分布に従う確率変数が独立であるとして、次式

のサンプルをとりヒストグラムを描いてみる。

リスト１のスクリプトで描くと、図１のグラフを得る。

図１

赤色の曲線は、非心度10，自由度５の非心ｔ分布のグラフである。赤色の曲線とヒストグラムがよく合っているのがわかる。

リスト１

import numpy as np

import scipy.stats as ss

import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng()

data_size = 1_000_000

num_w = rng.normal(loc=10, scale=1, size=data_size)

den_v = rng.chisquare(df=5, size=data_size)

den = (den_v / 5) ** 0.5

T = num_w / den

plt.hist(T, bins=np.arange(np.min(T), np.max(T)+1), density=True)

xcoord = np.linspace(np.min(T), np.max(T), 1000)

ncts = ss.nct.pdf(xcoord, 5, 10)

plt.plot(xcoord, ncts, label='non-cenral t\n' + r'$\delta$=10')

plt.legend()

plt.show()

上のシミュレーションにおいて、正規分布の平均を０としたものは非心度０であり、自由度５のｔ分布と呼ばれている。

リスト２のスクリプトでシミュレーションをおこなうと、図２のグラフを得る。

図２

リスト２

import numpy as np

import scipy.stats as ss

import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng()

data_size = 1_000_000

num_w = rng.normal(loc=0, scale=1, size=data_size)

den_v = rng.chisquare(df=5, size=data_size)

den = (den_v / 5) ** 0.5

T = num_w / den

plt.hist(T, bins=np.arange(np.min(T), np.max(T)+1), density=True)

xcoord = np.linspace(np.min(T), np.max(T), 1000)

cts = ss.t.pdf(xcoord, 5)

plt.plot(xcoord, cts, label='t-distri:df=5')

plt.legend()

plt.show()

参考文献

Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2005) Introduction to Mathematical Statistics, 6th ed. Pearson Education, Inc.

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