数量化2類
カテゴリ変数による判別分析
カテゴリ変数の共通数量化による判別分析はこちら
３群からなる個体が表１のように与えられているとする。各個体は、２つのカテゴリ型変量（項目１と項目２）によりその特性が表されている。
表１ グループ別に与えられたアイテム（項目）・カテゴリ（選択肢）型データ（岩坪、1987）
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群 個体 |
項目１ |
項目２ |
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選択肢１ 選択肢２ |
選択肢1 選択肢２ 選択肢３ |
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||
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A １ ２ ３ |
１ ０ １ ０ １ ０ |
１ ０ ０ １ ０ ０ ０ １ ０ |
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B １ ２ |
１ ０ ０ １ |
０ １ ０ ０ １ ０ |
|
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C １ ２ ３ |
０ １ ０ １ ０ １ |
０ １ ０ ０ ０ １ ０ ０ １ |
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数量化２類を用いると、各項目の選択肢に数値を対応させ、その数値から算出される得点を座標値として各個体を図１のように座標平面上に表すことができる。
図１
図１において、小文字は個体を表し、大文字は群の平均値を座標とする位置である。図１の布置において右上の小文字bには小文字aが１つ重なり、右下のaは２つのaが重なっている。cの方も、左上のbに１つのcが重なり、左下のcは2つのcが重なったものである。
数量化２類による分析を行うプログラムQ2.exeを用意した。図１は、このプログラムにより表１のデータを分析したものである。プログラムは、プログラム名Q2.exeをクリックしてダウンロード・実行することができる。実行開始時に「***.dllがインストールされていません」というようなエラーが表示されたときは、Visual Studio Express for Window Desktopを
http://www.microsoft.com/visualstudio/jpn/downloads
からダウンロード・インストールすれば、必要なファイルがインストールされるので、プログラムQ2.exeをクリックしてダウンロード・実行することができるようなる。なお、Windows 8/8.1の場合の手順については、特にウェブサイトを用意して説明している。
プログラムのソースコードファイルなどは圧縮ファイルQ2.zipとしてまとめた。圧縮ファイル名Q2.zipをクリックしてダウンロード・解凍すれば、Visual Studio 2012で開くことができる。
プログラムで使われている数量化２類の分析法はManQ2.pdfで説明している。PDFファイルManQ2.pdfをクリックしてダウンロードすれば開くことができる。
なお、数量化の計算においては行列演算（線形代数）が有用であるが、データ分析に必要な行列演算などを簡潔に説明したものとして
岡本安晴（2009）「統計学を学ぶための数学入門［下］：データ分析に活かす」培風館
を用意した。
プログラムを実行すると、図２のフォームが表示される。
図２
「GO」ボタンのクリックで、図３の入力データファイル名の設定を求めるダイアログウィンドウが表示される。
図３
入力データファイルは、例えば表１のデータの場合は図４のように用意する。
図４
１番目のスラッシュ / で始まる行の次の行にカテゴリ変数の個数を書く。スラッシュ / で始まる行は、区切りとして処理され、その右側の文字列は無視されるので、文字列をコメントとして書くことができる。
２番目のスラッシュ / で始まる行の次の行にカテゴリ変数の名前を空白またはタブで区切って並べる。
３番目のスラッシュ / で始まる行の次の行に、各カテゴリ変数で用いられているカテゴリ数を書く。
４番目のスラッシュ / で始まる行の次の行に、グループの数を書く。
５番目のスラッシュ / で始まる行の次の行に、グループ名（図４では、表１のグループA、B、CにDog、Cat、Mouseというグループ名を付けている）を空白またはタブで区切って並べる。
６番目のスラッシュ / で始まる行以降にデータ値（各カテゴリ変数のカテゴリ値）を書く。カテゴリ値は、カテゴリ変数のカテゴリ数がK個のときは、各カテゴリ（選択肢）に１からKまでの整数値を対応させて表す。
最後のデータの次の行は、スラッシュ / で始まる行を置いてデータの終わりとする。データで用いられていないカテゴリ値があれば除いて考える。例えば、K個のカテゴリ値のうち h 個が用いられていないときは、それらを除いた K- h 個のカテゴリで考え、用いられたカテゴリ値に 1 から K-h の整数値を割り当てる。また、ただ１つのカテゴリ値のみが用いられている変数は除く。
図３のダイアログウィンドウにおいて、入力データファイル名の設定後、「開く」ボタンをクリックすると、図５のような出力用ファイル名設定のダイアログウィンドウが表示される。
図５
出力用ファイル名の設定後、「保存」ボタンをクリックすると計算が始まる。計算が終了すると図６の画面になる。
図６
図６の画面の左上は図７のようになっている。
図７
横軸の次元と縦軸の次元を「H-Axis」と「V-Axis」の下のテキストボックスに設定して「Re-Draw」ボタンをクリックすると、設定した次元で描画が行われる。次元として０以下の値が設定されたときは１、求められた次元数より大きい値が設定されたときは次元の最大数が設定される。「Save」ボタンのクリックで描画画面をファイルに保存することができる（*.bmpファイル）。「Close」ボタンのクリックで図６の画面が閉じられ、図８のメッセージボックスが表示される。
図８
図８の「OK」ボタンのクリックでプログラムは終了する。プログラムの終了後、出力ファイルを開くと以下のようになっている。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 出力ファイル ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
Data
file...D:\yasuharu\www\LaCoocan\VCpp\QMethods\Q2\Q2\Q2\DataForQ2.txt
CatVar[0]
--> Item-1 n_categories = 2
CatVar[1]
--> Item-2 n_categories = 3
Number
of cases = 8
Group(A)-Dog:
Nmem = 3
Group(B)-Cat:
Nmem = 2
Group(C)-Mouse:
Nmem = 3
Group(Dog)
0: 1 1
1: 1 1
2: 1 2
Group(Cat)
0: 1 2
1: 2 2
Group(Mouse)
0: 2 2
1: 2 3
2: 2 3
Data...
0: 1
1
1: 1
1
2: 1
2
3: 1
2
4: 2
2
5: 2
2
6: 2
3
7: 2
3
Ni(g,jk) =
Group(Dog)
0: 1 0
1 0 0
1: 1 0
1 0 0
2: 1 0
0 1 0
Group(Cat)
0: 1 0
0 1 0
1: 0 1
0 1 0
Group(Mouse)
0: 0 1
0 1 0
1: 0 1
0 0 1
2: 0 1
0 0 1
Number
of Lambdas = 2
Lambda
(eta squared) ...
Lambda[0]
= 0.83333
Lambda[1]
= 0.33333
w =
0.63246 0.00000
-0.63246 0.00000
0.63246 -1.00000
0.00000 1.00000
-0.63246 -1.00000
Individual
score...
Group(Dog)
0: 1.26491 -1.00000
1: 1.26491 -1.00000
2: 0.63246 1.00000
Group(Cat)
0: 0.63246 1.00000
1: -0.63246 1.00000
Group(Mouse)
0: -0.63246 1.00000
1: -1.26491 -1.00000
2: -1.26491 -1.00000
Group
mean
Group(Dog)
1.05409 -0.33333
Group(Cat)
0.00000 1.00000
Group(Mouse)
-1.05409 -0.33333
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
Number of Lambdas = の値が、０でない
の個数を表す。
は
に等しいが、詳しくはPDFファイルで説明している。
w = に続く値は、各次元に対応する
の値が各列に並べられている。
Individual
score… の値が、各グループに属する個体の値であり、次元ごとに列として並べられている。
Group
mean は、グループごとの個体の値の平均値である。
w の値を見ると、第１次元の値（第１列目の値）は、
項目１が、0.632、-0.632 となっていて
項目２が、0.632、0.0、-0.632 となっている。
すなわち、選択肢１から選択肢２（項目２では、さらに選択肢３）へと値が正の値から負の値に変化しているので、第１軸は、グループAからB、Cへと正の値からから負の値へと変化して、A、B、Cを並べる値の付け方となっている。
第２次元は、項目１では、２つの選択肢の値はともに０であるが、項目２の選択肢の値は、-1.0、１.0、-1.0 となっていて、第２選択肢と第１および第２選択肢とに分かれている。このため、第２次元は、項目２の選択肢によって、ＡとＣのグループとＢのグループを分けるものとなっている。
参考文献
岩坪秀一「数量化法の基礎」朝倉書店、1987