２段数量化分析法：共通数量化

２段数量化分析法

本ウェブサイトのプログラムは、利用者の責任において、自由に御利用下さい。

カテゴリ変数を含むデータの分析法として、岡本安晴（2014）「２段数量化分析法」がある。これは、

１段目において、各カテゴリ変数に対して、２段目での分析で共通に用いるための数量化を行い、

２段目において、１段目において求められた共通数量化を用いて、種々の多変量解析を行う

というものである。

１段目の数量化は、数値計算としてはカテゴリ変量のindicator行列を量的データとみなしての主成分分析になっている。ただし、共通数量化の場合は、indicator行列を量的変量のデータとみなしたとき、データの標準化を行わずに主成分分析の計算を行っていることになるので注意。また、主成分も、分散として平方和をデータ数から１を減じた数で割った不偏分散を用いて算出されている場合がある。本ウェブサイトでは記述統計量としての分散、平方和をで割ったもの、が用いられている。不偏分散を用いた場合の数量化の値は、記述統計量の分散を用いた場合の値の倍になる。

数量化が非標準化主成分分析によって行われているとみるとき、２段数量化分析法は、

１段目において、各カテゴリ変数に対してindicator行列を作成し、カテゴリ変数ごとにindicator行列の非標準化主成分分析を行ったものを共通数量化の値とする。

２段目において、１段目において求められた共通数量化を用いて、種々の多変量解析を行う。

という分析法であると説明することもできる。Excelを用いたindicator行列の簡単な作成法の解説をpdfファイルHowToMakeG.pdfとして用意した。ファイル名HowToMakeG.pdfをクリックしてダウンロ―ド表示することができる。また、SPSSを用いて共通数量化を行う方法を説明したファイルHowTo_SPSS.pdfも用意した。ファイル名HowTo_SPSS.pdfをクリックして表示／ダウンロードすることができる。

なお、行列に関する簡潔な説明を＜岡本安晴「統計学を学ぶための数学入門［下］培風館」＞に用意している。

岡本（2014）「２段数量化分析法」で報告されている共通数量化とそれに基づく回帰分析および判別分析を行うプログラムを以下に用意した。

なお、同じ１つのデータセットに対して共通数量化を行い、主成分分析、回帰分析、および判別分析を行った例は、＜このウェブサイト＞で説明している。

カテゴリ変数による回帰分析

第１段：共通数量化

第１段における共通数量化を行うプログラムは＜CommonQ.exe＞である。クリックしてダウンロード・実行できるが、実行形式のファイル*.exeのWindows 8.1におけるダウンロード実行については

http://y-okamoto-psy1949.la.coocan.jp/VCpp/Win8EXEFile/

で説明している。

ソースコードファイルなどは圧縮ファイルCommonQ.zipとして用意した。ダウンロード・解凍すれば、Visual Studio 2013で開くことができる。

プロジェクトを開いたときのエラーは無視できるが、このことは

http://y-okamoto-psy1949.la.coocan.jp/booksetc/introvcpp/vs2012FormApp/#BM1

で説明している。

Visual Studio 2013は、無料版Visual Studio Express 2013 for Windows Desktopが

https://www.visualstudio.com/downloads/download-visual-studio-vs

からダウンロードインストールすることができる。

共通数量化のプログラムを実行すると、図１のフォームが提示される。

図１

「GO」ボタンのクリックで、図２のダイアログ・ウィンドウが提示され、入力データファイル名の設定が求められる。

図２

図２では、岩坪秀一（1987）「数量化法の基礎」、朝倉書店の数量化１類のデータ（表１）を用意したDataQ1.txtを選んでいる。

表１　基準値（連続量）とカテゴリ変量
外的基準値	変量１（カテゴリ値）	変量２（カテゴリ値）
２	１	１
４	２	１
６	２	１
８	２	２

DataQ1.txtは、以下のようになっている。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　DataQ1.txt　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

/ Number of Variables

/ Variable Names

ID Y X1 X2

/ Numbers of Categories of Variables

0 0 2 2

D1 2 1 1

D2 4 2 1

D3 6 2 1

D4 8 2 2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

行の先頭がスラッシュ / で始まる最初の行の次の行に、データの変数の総数が書かれている。

次の、行の先頭がスラッシュ / で始まる行の次の行に、変数の名前（ラベル）が並べられている。

３番目の、行の先頭がスラッシュ / で始まる行の次の行には、各変数に対して０以上の整数を対応させたものが並べられている。

０のときは、変数の値は文字列として扱われ、何も変換が行われない。

１のときは、連続量の変数として扱われ、平均０、分散１に標準化される。

２以上のときは、この値が k であれば、その変数のカテゴリ数が k であることを表す。カテゴリー値は、１から k までの整数で表す。整数値を割り当てるが、尺度の水準は名義尺度（岡本安晴「計量心理学」培風館、第7－2節「尺度の水準」参照）である。したがって、変数の統計学的情報は、各カテゴリ（整数）の頻度分布で表され、この頻度分布を最大に反映する値として数量化が行われる。

４番目と５番目の先頭がスラッシュ / で始まる行に挟まれて、データ（変数の値）が上の変数のラベルの順序に対応して並べられている。

図２のダイアログウィンドウで入力データファイル名を選んで、「開く」ボタンをクリックすると、図３の出力ファイル名設定のダイアログウィンドウが表示される。

出力ファイルはテキストファイルなので、適当なテキストファイル名を設定して、「保存」ボタンをクリックする。

図３

「保存」ボタンのクリックで計算が始まる。計算が終了すると、図４のように出力ファイルが保存されたことを示すメッセージボックスが表示される。

図４

「ＯＫ」ボタンのクリックで、プログラムの実行終了となる。実行終了後、出力ファイルを開くと、入力データDataQ1.txtに対しては以下のようになる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　出力ファイル　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Data file...D:\yasuharu\www\LaCoocan\booksetc\TwoStepQA\CommonQ\CommonQ\DataQ1.txt

CatVar[0] --> ID n_categories = 0

CatVar[1] --> Y n_categories = 0

CatVar[2] --> X1 n_categories = 2

CatVar[3] --> X2 n_categories = 2

Number of cases = 4

Data...

0: D1 2 1 1

1: D2 4 2 1

2: D3 6 2 1

3: D4 8 2 2

k = 0 nCatPerVar = 0

k = 1 nCatPerVar = 0

k = 2 nCatPerVar = 2

G/Data matrices for k = 2 ...

1 0

0 1

Lambda...

1.5

Omega...

-0.707

0.707

k = 3 nCatPerVar = 2

G/Data matrices for k = 3 ...

1 0

0 1

Lambda...

1.5

Omega...

-0.707

0.707

Results...

ID-0 Y-0 X1-0 X2-0

D1 2 -1.73205 -0.57735

D2 4 0.57735 -0.57735

D3 6 0.57735 -0.57735

D4 8 0.57735 1.73205

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

最後の「Results…」の後に、各変数の変換値が出力されている。変換値の変数名は、入力データの変数名に「－整数」を付けた形になっている。文字列変数として変換を行わなかった場合、および標準化のみが行われた変数は「変数名－０」の名前が与えられている。

カテゴリ変数は、例えば、そのカテゴリ変数に対して３個の数量化が求められた場合は、「変数名－０」、「変数名－１」、「変数名－２」と０から始まる通し番号がハイフン－の後に付けられる。変換値は、変換変数名の下に出力されている。

この変換値を用いて、回帰分析を行ってみる。回帰分析についての解説は＜岡本安晴「心理学データ分析と測定」勁草書房＞などを参照されたい。

第２段：回帰分析

回帰分析を行うプログラムとしてRegressCommonQ.exeを用意した。ソースコードファイルなどを圧縮ファイルとしてまとめたものRegressCommonQ.zipは、ダウンロード・解凍すれば、Visual Studio 2013で開くことができる。

プログラムを実行すると図５のフォームウィンドウが表示される。

図５

「GO」ボタンのクリックで、図６の入力データ名設定ダイアログ・ウィンドウが表示される。

図６

入力データファイルは、以下の形式で用意する。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　Data.txt　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

/ Number of independent variables

ID-0 Y-0 X1-0 X2-0

D1 2 -1.73205 -0.57735

D2 4 0.57735 -0.57735

D3 6 0.57735 -0.57735

D4 8 0.57735 1.73205

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

上のData.txtは、第１段の共通数量化での出力から作成したものである。

最初の、先頭がスラッシュ / で始まる行の次の行に、独立変数の個数が書かれている。

次の、先頭がスラッシュ / で始まる行の次の行に、データの変数名が並べられている。先頭にケースID、２番目に従属変数、３番目以降に独立変数の名前（ラベル）がおかれている。

３番目と４番目の先頭がスラッシュ / で始まる行に挟まれて、データ（変数の値）が上の変数のラベルの順序に対応して並べられている。

図６のダイアログウィンドウにおいて、入力データファイル名の設定後、「開く」ボタンをクリックすると、図７の出力ファイル名の設定を求めるダイアログウィンドウが表示される。

図７

適当なテキストファイル名を設定して、「保存」ボタンをクリックすると、計算が始まる。計算終了後、図８の画面になる。

図８

横軸（Ｙ）が従属変数のデータ値、縦軸（Y-hat）が回帰モデルによる予測値（）である。左上の「Save」ボタンをクリックすると描画画面を保存することができる。「Close」ボタンをクリックすると、図８の画面は消えて、図９のメッセージボックスが表示される。

図９

「OK」ボタンのクリックで、プログラムは終了する。プログラムの終了後、上の出力ファイルresult.txtを開くと、以下のようになっている。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　result.txt　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Data file...D:\yasuharu\www\LaCoocan\booksetc\TwoStepQA\RegressCommonQ\RegressCommonQ\Data.txt

/ Number of independent variables

Number of cases = 4

Z...

X1-0 X2-0

Case-0 -1.732 -0.577

Case-1 0.577 -0.577

Case-2 0.577 -0.577

Case-3 0.577 1.732

Y, X...

Case-0/D1 2.000 1.000 -1.732 -0.577

Case-1/D2 4.000 1.000 0.577 -0.577

Case-2/D3 6.000 1.000 0.577 -0.577

Case-3/D4 8.000 1.000 0.577 1.732

b =

1.2990387113536

Y = Y_hat =

2 2.00000

4 5.00000

6 5.00000

8 8.00000

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

「Y, X…」の後に、「Case-0/ケースID」に続いて、従属変数の値（Ｙ）と、定数項を表す値１（1.000と表記；岡本安晴「心理学データ分析と測定」勁草書房、2.4節「重回帰モデルの理論」参照）、独立変数の値が出力されている。この変数の順序（定数項、独立変数・・・）に対応して、回帰モデルの係数が「b = 」に続いて出力されている。上の出力内容を重回帰モデルの式で表すと以下のようになる。

但し、表示桁数は小数点以下３桁に四捨五入してある。

カテゴリ変数による判別分析

第１段：共通数量化

上の回帰分析の場合と数量化するデータが異なるだけで、方法は同じである。

http://y-okamoto-psy1949.la.coocan.jp/VCpp/Win8EXEFile/

で説明している。

ソースコードファイルなどは圧縮ファイルCommonQ.zipとして用意した。ダウンロード・解凍すれば、Visual Studio 2013で開くことができる。

プロジェクトを開いたときのエラーは無視できるが、このことは

http://y-okamoto-psy1949.la.coocan.jp/booksetc/introvcpp/vs2012FormApp/#BM1

で説明している。

Visual Studio 2013は、無料版Visual Studio Express 2013 for Windows Desktopが

https://www.visualstudio.com/downloads/download-visual-studio-vs

からダウンロードインストールすることができる。

共通数量化のプログラムを実行すると、図Ａ１のフォームが提示される。

図Ａ１

「GO」ボタンのクリックで、図Ａ２のダイアログ・ウィンドウが提示され、入力データファイル名の設定が求められる。

図Ａ２

図Ａ２では、岩坪秀一（1987）「数量化法の基礎」、朝倉書店の数量化２類のデータ（表２）を用意したDataQ2.txtを選んでいる。

表２　グループ別に与えられたアイテム（項目）・カテゴリ（選択肢）型データ

群　個体

項目１

項目２

選択肢１　　選択肢２

選択肢1　選択肢２　選択肢３

A　　１

　　　２

　　　３

１　　　０

１　　　　０　　　　　０

０　　　　１　　　　　０

B　　１

　　　２

１　　　０

０　　　１

０　　　　１　　　　　０

C　　１

　　　２

　　　３

０　　　１

０　　　　１　　　　　０

０　　　　０　　　　　１

DataQ2.txtは、以下のようになっている。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　DataQ2.txt　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

/ Number of Variables

/ Variable Names

ID CA CB

/ Numbers of Castegories of Variables

0 2 3

A1 1 1

A2 1 1

A3 1 2

B1 1 2

B2 2 2

C1 2 2

C2 2 3

C3 2 3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

行の先頭がスラッシュ / で始まる最初の行の次の行に、データの変数の総数が書かれている。

次の、行の先頭がスラッシュ / で始まる行の次の行に、変数の名前（ラベル）が並べられている。

３番目の、行の先頭がスラッシュ / で始まる行の次の行には、各変数に対して０以上の整数を対応させたものが並べられている。

０のときは、変数の値は文字列として扱われ、何も変換が行われない。

１のときは、連続量の変数として扱われ、平均０、分散１に標準化される。

４番目と５番目の先頭がスラッシュ / で始まる行に挟まれて、データ（変数の値）が上の変数のラベルの順序に対応して並べられている。

図Ａ２のダイアログウィンドウで入力データファイル名を選んで、「開く」ボタンをクリックすると、図Ａ３の出力ファイル名設定のダイアログウィンドウが表示される。

出力ファイルはテキストファイルなので、適当なテキストファイル名を設定して、「保存」ボタンをクリックする。

図Ａ３

「保存」ボタンのクリックで計算が始まる。計算が終了すると、図Ａ４のように出力ファイルが保存されたことを示すメッセージボックスが表示される。

図Ａ４

「ＯＫ」ボタンのクリックで、プログラムの実行終了となる。実行終了後、出力ファイルを開くと、入力データDataQ2.txtに対しては以下のようになる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　出力ファイル　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Data file...D:\yasuharu\www\LaCoocan\booksetc\TwoStepQA\CommonQ\CommonQ\DataQ2.txt

CatVar[0] --> ID n_categories = 0

CatVar[1] --> CA n_categories = 2

CatVar[2] --> CB n_categories = 3

Number of cases = 8

Data...

0: A1 1 1

1: A2 1 1

2: A3 1 2

3: B1 1 2

4: B2 2 2

5: C1 2 2

6: C2 2 3

7: C3 2 3

k = 0 nCatPerVar = 0

k = 1 nCatPerVar = 2

G/Data matrices for k = 1 ...

1 0

0 1

Lambda...

Omega...

-0.707

0.707

k = 2 nCatPerVar = 3

G/Data matrices for k = 2 ...

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Lambda...

3 2

Omega...

-0.408 0.707

0.816 0.000

-0.408 -0.707

Results...

ID-0 CA-0 CB-0 CB-1

A1 -1.00000 -1.00000 1.41421

A2 -1.00000 -1.00000 1.41421

A3 -1.00000 1.00000 0.00000

B1 -1.00000 1.00000 0.00000

B2 1.00000 1.00000 0.00000

C1 1.00000 1.00000 0.00000

C2 1.00000 -1.00000 -1.41421

C3 1.00000 -1.00000 -1.41421

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

上の出力にある変換値を用いて、判別分析を行ってみる。ここでの判別分析はフィッシャーの判別関数を用いている。フィッシャーの判別関数についての説明はreadmeDiscrimi.pdfに用意した。

第２段：判別分析

判別分析を行うプログラムDiscrimiCommonQ.exeを用意した。ソースコードファイルなどは圧縮ファイルDiscrimiCommonQ.zipとしてまとめた。ダウンロード・解凍すればVisual Studio 2013で開くことができる。

プログラムを実行すると図A5のフォームが表示される。

図A5

「GO」ボタンのクリックで、図A6の入力データファイル名設定のダイアログウィンドウが表示される。

図A6

入力データファイルは以下の形式で用意する。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　Data.txt　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

/ Number of Variables for discriminant analysis

/ Variable Labels

ID CA-0 C2-0 C2-1

/ Number of Groups

/ Group Labels

GA GB GC

ID-0 CA-0 C2-0 C2-1

/ GA

A1 -1.00000 -1.00000 1.41421

A2 -1.00000 -1.00000 1.41421

A3 -1.00000 1.00000 0.00000

/ GB

B1 -1.00000 1.00000 0.00000

B2 1.00000 1.00000 0.00000

/ GC

C1 1.00000 1.00000 0.00000

C2 1.00000 -1.00000 -1.41421

C3 1.00000 -1.00000 -1.41421

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

入力データData.txtは、第１段での共通数量化の出力データに基づいて作成されたものである。

行の先頭がスラッシュ / で始まる最初の行の次の行に、判別分析に用いる変数の個数を書く。

先頭がスラッシュ / で始まる２番目の行の次の行に、変数の名前（ラベル）を並べる。１番目にケースID、２番目以降に判別分析で用いる変数の名前を順番に書いていく。

先頭がスラッシュ / で始まる３番目の行の次の行に、判別するグループの数を書く。

先頭がスラッシュ / で始まる４番目の行の次の行に、グループの名前（ラベル）を並べる。

先頭がスラッシュ / で始まる５番目の行の次の行から、１行に１ケースずつ、ケースIDと判別分析に用いる変数の値を、上のケースIDおよび変数ラベルの順に合わせて書いていく。グループの区切りは、先頭がスラッシュ / で始まる行によって行う。上の例では、スラッシュ / の後にグループ名が書かれているが、これはプログラムの読み込みでは無視される。入力データを見やすくするためのものである。

データの最後は、スラッシュ / で始まる行を置く。

図A6の入力データファイル名設定ダイアログウィンドウにおいてファイル名の設定後、「開く」ボタンをクリックすると、図A7の出力データファイル名設定のダイアログウィンドウが表示される。

図A７

適当なテキストファイル名を設定して、「保存」ボタンをクリックすると計算が始まる。

計算が終了すると、図A8の画面になる。

図A8

各ケースの判別関数の値とグループごとの判別関数の値の平均を横軸および縦軸の値とする点がプロットされている。小円が各ケースを表し、小正方形がグループを表す。横軸および縦軸の判別関数は、「H-Axis」および「V-Axis」にその次元を指定することによって選ぶことができる。

図A9

図A9では、第１判別関数が横軸、第２判別関数が縦軸の値である。「H-Axis」あるいは「V-Axis」の値を変更したときは、「Re-Draw」ボタンのクリックで対応する判別関数による布置の描画が行われる。

カテゴリ変数の場合は、ケースの点が重なることがあるので、ランダムな一様乱数を座標点に加えて、重なりを避けている。「Re-Draw」ボタンをクリックすると、一様乱数の加え方を変えた布置が再描画されるので、見やすい布置が得られるまで「Re-Draw」ボタンをクリックし直せばよい。

「Save」ボタンのクリックで、描画画面を保存することができる。

「Close」ボタンのクリックで、描画画面は消えて、図A10のメッセージボックスが表示される。

図A10

「OK」ボタンをクリックすると、プログラムは終了する。

プログラムの終了後、出力ファイルを開くと、上の入力データの場合は、以下のようになっている。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　Result.txt　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Data file...D:\yasuharu\www\LaCoocan\booksetc\TwoStepQA\DiscrimiCommonQ\DiscrimiCommonQ\Data.txt

Variable Labels...

CA-0

C2-0

C2-1

Group-0

-1.000 -1.000 1.414

-1.000 1.000 0.000

Group-1

-1.000 1.000 0.000

1.000 1.000 0.000

Group-2

1.000 1.000 0.000

1.000 -1.000 -1.414

Group-0

-1.000 -0.333 0.943

Group-1

0.000 1.000 0.000

Group-2

1.000 -0.333 -0.943

W =

2.000 0.000 0.000

0.000 5.333 0.000

0.000 0.000 2.667

n_eigen = 3

A =

6.000 0.000 -5.657

0.000 2.667 0.000

-5.657 0.000 5.333

ck_rank = 2

Lambda[0] = 5.0000000

Lambda[1] = 0.5000000

Group means of discriminant factors (or canonical variates)...

Group-GA

-1.05409 -0.33333

Group-GB

0.00000 1.00000

Group-GC

1.05409 -0.33333

Individual discriminant factors...

Group-GA

A1 -1.26491 -1.00000

A2 -1.26491 -1.00000

A3 -0.63246 1.00000

Group-GB

B1 -0.63246 1.00000

B2 0.63246 1.00000

Group-GC

C1 0.63246 1.00000

C2 1.26491 -1.00000

C3 1.26491 -1.00000

S =

0.94868 0.00000

0.00000 1.00000

-0.89443 0.00000

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

最後の、「S = 」に続いて、変数と判別関数との相関係数（構造行列）が出力されている。変数CA-0、C2-0、C2-1は行、判別関数は列に対応している。

求められた判別関数の総数は、「ck_rank」の値として示されている。上の出力の場合、「ck_rank = 2」である。

上の構造行列から、

第１判別関数は、変数CA-0と強い正の関係、変数C2-1と強い負の関係があることがわかる。これは、数量化の値CA-0およびC2-1が、グループをGA、GB、GCの順に並べるものであることを表している。

第２判別関数は、変数C2-0と強い正の関係がある。これは、数量化の値C2-0がグループGBをグループGAおよびGCと区別するもであることを表している。